Parallele Ebenen/ Spiegelebene

Question

Aufgabe:

Die Ebene E enthält die Punkte \( \mathrm{A}(5|11| 5), \mathrm{B}(11|1| 8) \) und \( \mathrm{C}(11|5| 6) \). Die Ebene \( \mathrm{F} \) besitzt die Koordinatengleichung \( \mathrm{F}: 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}=24 \).

a) Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Ebene E.
b) Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F parallel sind. Bestimmen Sie außerdem ihren Abstand.
c) Die Ebene E wird an der Ebene F gespiegelt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Spiegelebene \( \mathrm{E}^{\prime} \).

Problem/Ansatz:

Hallo Freunde,
Ich brauche bitte bei folgender Aufgabe Hilfe. a und b habe ich schon gemacht, aber bei c komme ich leider nicht weiter. Habt ihr eine Idee?

Answer 1

c)
A' = [5, 11, 5] + r·[2, 3, 6] = [2·r + 5, 3·r + 11, 6·r + 5]

A' in F einsetzen
2·(2·r + 5) + 3·(3·r + 11) + 6·(6·r + 5) = 24 → r = -1

A' = [5, 11, 5] - 2·[2, 3, 6] = [1, 5, -7]

E': X = [1, 5, -7] + r·[6, -10, 3] + s·[6, -6, 1]

Comments

Vielen Dank! Ich habe in Zwischenzeit auch den Spiegelpunkt berechnet, bin aber auf ein ganz anderes Ergebnis gekommen. Ich habe eine Formel aus dem Buch angewandt: OA+2×AB

Mein Ergebnis: A'(17|-9|11)

Woran liegt das?

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A' = OA+2×AB
Woran liegt das?

Wahrscheinlich am 'Deinem' Spiegelpunkt 'B'! was hast Du für B eingesetzt?

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Das soll der Vektor AB sein also habe ich Punkt B - Punkt A gerechnet und bin so auf Vektor AB gekommen.

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Wenn \(E\) an \(F\) zu \(E'\) gespiegelt wird, und beide Ebenen parallel liegen, so liegt auch \(E'\) parallel zu \(F\) und hat somit auch den identischen Normalenvektor.

D.h. man muss bei der Ebenengleichung von \(F\)$$F:\quad 2x+3y+6z = 24$$nur die '\(24\)' neu berechnen. Kennt man einen Punkt aus \(E\) - z.B. den Punkt \(A(5|\,11|\,5))\), dann muss man nur \(A\) in die Gleichung von \(F\) einsetzen ...$$F(A) = 2\cdot 5 + 3\cdot 11+6\cdot 5 = 73$$... und diese \(73\) an der \(24\) 'spiegeln':$$2 \cdot 24 - 73 = -25$$Die Gleichung für \(E'\) ist also$$E': \quad 2x+3y+6z = -25$$

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Mein Ergebnis: A'(17|-9|11)

Dann hast du A an B gespiegelt.

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A und B liegen Gleichweit von der Ebene F entfernt und eine Gerade durch die Punkte kann die Ebene F NIE schneiden. Du musst schon statt AB den Normalenvektor der Ebene F nehmen.

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Das soll der Vektor AB sein also habe ich Punkt B - Punkt A gerechnet und bin so auf Vektor AB gekommen.

Ok - Du hast den Punkt \(A\) an \(B\) gespiegelt. Wenn das das \(B\) aus der Aufgabe ist, so ist das falsch. \(B\) liegt doch gar nicht in \(F\)!

Es soll doch an \(F\) gespiegelt werden!

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Ahhh okay. Jetzt versteh ich es. Also muss ich es so rechnen, wie Der_Mathecoach oben

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Es gibt viele Möglichkeiten das zu rechnen. Mein weg ist einer davon. Fast noch etwas einfacher wäre es die Koordinatenform der Ebene E und E' aufzustellen.

Aber ich will dich auch nicht verwirren.

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Also muss ich es so rechnen, wie Der_Mathecoach oben

.. oder so, wie ich es Dir gezeigt habe. Das wäre kürzer ;-)

ich habe Dir die Szene in Geoknecht3D gegossen:

(klick auf das Bild!)

\(E\) ist die obere grüne Ebene mit den Punkten A, B und C. \(F\) ist lila und \(E'\) ist hellgrün.

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Ok, danke. Das einzige was ich jetzt nicht verstehe, ist wie du in der vorletzten Zeile bei deiner Rechnung auf -2 gekommen bist, wenn r=-1 ist?

Oder ist es nur ein Tippfehler? ;)

Ich meine die Rechnung von Der_Mathecoach

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Wenn du r = -1 nimmst dann kommst du genau zum Punkt an dem Du spiegeln willst. Du musst also immer 2r wenn du Spiegeln möchtest.

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Danke für den Hinweis!! :)