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Aufgabe:

Ableitung von folgender Funktion bestimmen

f(x)= -1/4(x^2-1)(x^2-9)


Problem/Ansatz:

Ich kann ja nicht direkt ableiten, sondern muss vorher noch die Klammern weghaben ?

Zudem darf ich nicht die Produktregel benutzen.

Danke :)

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Wenn du die Produktregel nicht verwenden willst, könntest du die beiden Klammern ausmultiplizieren. Das Ergebnis setzt du in Klammern, um den Faktor "-1/4" nicht mitnehmen zu müssen.

muss vorher noch die Klammern weghaben

Wenn man Klammern hat und keine will, dann tut man ausmultiplizieren.

Wenn man keine Klammern hat und Klammern will, dann tut man ausklammern.

Zudem darf ich nicht die Produktregel benutzen.

Du darfst sicher benutzen, dass $$f'(x)= \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$das ist immer eine Option.
Also wenn Du Deine Lehrkraft, die Dir die Produktregel verbietet (warum das denn?), erschrecken möchtest, dann nutze den Differentialquotienten$$f(x)= -\frac{1}{4}(x^{2}-1)(x^{2}-9)\\\begin{aligned} f'(x)&= \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{\left(\left(x+h\right)^{2}-1\right)\left(\left(x+h\right)^{2}-9\right)-\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{\left(x^2-1 + 2hx + h^2\right)\left(x^{2}-9+2hx+h^2\right)-\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{\left(\left(x^2-1\right) + h\left(2x + h\right)\right)\left(\left(x^{2}-9\right)+h\left(2x+h\right)\right)-\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{h\left(2x+h\right)\left(x^{2}-1 + x^{2}-9\right) + h^2\left(2x+h\right)^2}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \left(2x+h\right)\left(x^{2}-1 + x^{2}-9\right) + h\left(2x+h\right)^2 \\ &= -\frac{1}{4}\left(2x \left(2x^2-10\right)\right) \\ &= -x\left(x^2-5\right) \end{aligned}$$so bleiben auch noch genug Klammern stehen.

1 Antwort

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Beste Antwort

Du kannst erstmal die beiden Klammern ausmultiplizieren.

f(x) = - 1/4·(x^2 - 1)·(x^2 - 9)
f(x) = - 1/4·(x^4 - 9·x^2 - x^2 + 9)
f(x) = - 1/4·(x^4 - 10·x^2 + 9)

Wenn du die Faktorregel benutzen darfst, dann bleibt der konstante Faktor beim Ableiten erstmal stehen

f'(x) = - 1/4·(4·x^3 - 20·x)
f'(x) = - (x^3 - 5·x)
f'(x) = 5·x - x^3

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mit Produkt-und Faktorregel zum Vergleich:

u= x^2-1

u' = 2x

v= x^2-9

v' = 2x

f '(x) = -1/4*[2x*(x^2-9)+(x^2-1)*2x]

-1/4*(2^x^3-18x+2x^3-2x) = -1/4*(4x^3-20x) = -x^3+5x

etwas umständlicher, aber gut machbar, ausmutiplizieren muss man auch hier.

Hier ist es angenehm, weil die Faktoren einfach sind zum Ableiten

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