Reihenkonvergenz von sin und ln

Question

Hi

ich komme bei folgender Aufgabe nicht voran

Kongergieren die Reihen von n = 1 bis unendlich zu den Folgen

a) sin(n)

b) ln(1+1/n)

Answer 1

Hallo.

Zu a).
Nullfolgentest anwenden.
Tipp: (sin(n)) hat überhaupt keinen Grenzwert. Die Folge hat nämlich mehrere Häufungspunkte.

Zu b).
Schreibe zuerst den Logarithmus Naturalis für alle k ∈ ℕ mittels dem ln-Gesetz um in
ln(1+1/k) = ln((k+1)/k) = ln(k+1) - ln(k).

Dann betrachte mal die endliche Summe von dem Ausdruck. Du solltest rasch merken, das es sich hier um eine Teleskopsumme handelt und für alle n ∈ ℕ
Σ (k=1 to n) ln(1+1/k) 
= Σ (k=1 to n) ln(k+1)-ln(k) = ln(n+1) gilt.
Die Reihe ist ja dann bekanntlich der Grenzwert der endlichen Summe für n —> inf. Was gilt dann also?

Comments

Betrachte einfach einige Teilfolgen.

Bis zur ersten Bearbeitung ist bei dir immer alles einfach.

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Ah

Beide Reihen divergieren dann also. Bei a) weil sin(n) keine Nullfolge ist und bei b) weil die Reihe dann der Limes von ln(n+1) ist, was ja unendlich ist.

Nur ist mir noch unklar, wie ich denn jetzt Teilfolgen von sin(n) finde?

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@hj266 Was meinst du damit?

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Du hast dem Fragesteller einfach zu findende Teilfolgen versprochen.
Wir warten auf deine Lieferung.

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Ein leichteres Argument:

Betrachte man den allgemeinen Grenzwert
lim (x —> inf) sin(x). Der existiert nicht.

Beweis. Sei f(x) := sin(x). Angenommen der Grenzwert lim (x —> inf) f(x) = L existiert.
Dann muss nach Definition für jede Folge (x_n) mit lim x_n = inf, auch lim f(x_n) = L eindeutig gelten.
Wir wählen die Folgen x_n := nπ und
y_n := (2n+1)π/2. Dann gilt f(x_n) = 0 und
f(y_n) = 1 für alle natürlichen Zahlen.
Damit ist aber auch lim f(x_n) = 1 ≠ 0 =
lim f(y_n). Das ist ein Widerspruch.

Da lim (x —> inf) sin(x) schon gar nicht existiert, kann auch lim (n —> inf) sin(n) auch nicht existieren.

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Deine Argumentation funktioniert so nicht.

Aus der Tatsache, dass ein Grenzwert \( \lim\limits_{x\to\infty} f(x)\) für reelle x nicht existiert, kann nicht geschlossen werden, dass für natürliche n der Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} f(n)\) nicht doch existiert.

PS mit meiner Prognose, dass noch Bearbeitungen deiner ursprünglichen Antwort folgen würden, hatte ich offenbar Recht (falls du mit deiner obigen Frage @hj266 Was meinst du damit? darauf hinaus wolltest)

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Da hast du Recht. Jedoch war das nicht meine Idee. Die Sinusfolge ist dicht bei der allgemeinen Sinusfunktion. Sie verhält sich also genauso. In dem Fall kann man weiter argumentieren, das die Nicht-Existenz des allgemeinen Grenzwerts oben schon einerseits dem folgern kann. Bevor es hier aber zu kompliziert wird, kann man ja eventuell weiterschauen, ob es doch nicht leichtere Möglichkeiten gibt.

Emphelen kann ich da das Video:

https://youtu.be/9mo4u_FGvFw?si=0mp5qdbxSuOgqQFD

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Verstehe jetzt. Danke dir!