Ich kann ja nicht direkt ableiten, sondern muss vorher noch die Klammern weghaben?

Question

Aufgabe:

Ableitung von folgender Funktion bestimmen

f(x)= -1/4(x^2-1)(x^2-9)

Problem/Ansatz:

Ich kann ja nicht direkt ableiten, sondern muss vorher noch die Klammern weghaben ?

Zudem darf ich nicht die Produktregel benutzen.

Danke :)

Comments

Wenn du die Produktregel nicht verwenden willst, könntest du die beiden Klammern ausmultiplizieren. Das Ergebnis setzt du in Klammern, um den Faktor "-1/4" nicht mitnehmen zu müssen.

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muss vorher noch die Klammern weghaben

Wenn man Klammern hat und keine will, dann tut man ausmultiplizieren.

Wenn man keine Klammern hat und Klammern will, dann tut man ausklammern.

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Zudem darf ich nicht die Produktregel benutzen.

Du darfst sicher benutzen, dass $$f'(x)= \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$das ist immer eine Option.
Also wenn Du Deine Lehrkraft, die Dir die Produktregel verbietet (warum das denn?), erschrecken möchtest, dann nutze den Differentialquotienten$$f(x)= -\frac{1}{4}(x^{2}-1)(x^{2}-9)\\\begin{aligned} f'(x)&= \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{\left(\left(x+h\right)^{2}-1\right)\left(\left(x+h\right)^{2}-9\right)-\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{\left(x^2-1 + 2hx + h^2\right)\left(x^{2}-9+2hx+h^2\right)-\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{\left(\left(x^2-1\right) + h\left(2x + h\right)\right)\left(\left(x^{2}-9\right)+h\left(2x+h\right)\right)-\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \frac{h\left(2x+h\right)\left(x^{2}-1 + x^{2}-9\right) + h^2\left(2x+h\right)^2}{h}\\ &= -\frac{1}{4}\lim\limits_{h \to 0} \left(2x+h\right)\left(x^{2}-1 + x^{2}-9\right) + h\left(2x+h\right)^2 \\ &= -\frac{1}{4}\left(2x \left(2x^2-10\right)\right) \\ &= -x\left(x^2-5\right) \end{aligned}$$so bleiben auch noch genug Klammern stehen.

Answer 1

Du kannst erstmal die beiden Klammern ausmultiplizieren.

f(x) = - 1/4·(x^2 - 1)·(x^2 - 9)
f(x) = - 1/4·(x^4 - 9·x^2 - x^2 + 9)
f(x) = - 1/4·(x^4 - 10·x^2 + 9)

Wenn du die Faktorregel benutzen darfst, dann bleibt der konstante Faktor beim Ableiten erstmal stehen

f'(x) = - 1/4·(4·x^3 - 20·x)
f'(x) = - (x^3 - 5·x)
f'(x) = 5·x - x^3

Comments

mit Produkt-und Faktorregel zum Vergleich:

u= x^2-1

u' = 2x

v= x^2-9

v' = 2x

f '(x) = -1/4*[2x*(x^2-9)+(x^2-1)*2x]

-1/4*(2^x^3-18x+2x^3-2x) = -1/4*(4x^3-20x) = -x^3+5x

etwas umständlicher, aber gut machbar, ausmutiplizieren muss man auch hier.

Hier ist es angenehm, weil die Faktoren einfach sind zum Ableiten