Abi Graph mit Intervall tangente

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a} \) durch die Gleichung \( f_{a}(x)=\left(x^{2}+a\right) \cdot e^{0,5-x}\; ; \; a \in \mathbb{R} \). Die Graphen der Schar sind \( G_{a} \). Der Graph \( G_{2} \) verläuft im Intervall \( [1 ; 3] \) annähernd geradlinig und kann vereinfacht durch die Tangente \( t \) an diesen Graphen in \( x=2 \) dargestellt werden.

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \( t \).
[Zur Kontrolle: \( t(x)=-2 \cdot e^{-1,5} \cdot x+10 \cdot e^{-1,5} \) ]

Zeigen Sie, dass der Funktionswert der Tangente \( t \) an der Stelle \( x=1 \) um weniger als \( 2 \% \) vom Funktionswert von \( f_{2} \) an dieser Stelle abweicht.

Problem/Ansatz:

Comments

Aus welchem Abitur (Bundesland, Jahr) stammen deine Aufgaben denn?

Was sind denn deine Ansätze dazu?

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Für t(x) bei x=1 gibt es die Formel:

t(x) = (x-1)*f '(1)+ f(1)

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Für t(x) bei x=1 gibt es die Formel:

t(x) = (x-1)*f '(1)+ f(1)

Das ist Blödsinn, weil das nicht gefragt ist.

Answer 1

Ansatz \(t(x)=mx+b\) für alle Tangenten (bzw. allgemein für Geraden). Bei Tangenten gilt die Besonderheit, dass \(m=f'_2(x)\), hier an der Stelle \(x=2\). Nutze außerdem die Tatsache, dass die Tangente die Graphen berührt und \(t(2)=f_2(2)\) gilt, um damit \(b\) zu berechnen.

Erläutere bitte deine konkreten Schwierigkeiten mit der Aufgabe, anstatt nur die Aufgabe zu posten.

Comments

Naja m ist schon allgemein die Ableitung, nicht nur bei Tangenten!

Answer 2

Aloha :)

Die Gleichung einer Tangente an eine Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Hier soll die Tangente der Funktion \(f_2(x)\) an der Berührstelle \(x_0=2\) bestimmt werden:$$t(x)=\green{f_2(2)}+\pink{f'_2(2)}\cdot(x-2)$$

Der Funktionswert an der Stelle \(x_0=2\) lautet:$$\green{f_2(2)}=(2^2+2)e^{0,5-2}=\green{6e^{-1,5}}$$

Die Ableitung der Funktion bilden wir mit Produkt- und Kettenregel:$$f_2(x)=\underbrace{(x^2+2)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{0,5-x}}_{=v}$$$$f'_2(x)=\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{0,5-x}}_{=v}+\underbrace{(x^2+2)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{0,5-x}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(-1)}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}=(2x-x^2-2)\cdot e^{0,5-x}$$$$\pink{f'_2(2)}=(4-4-2)e^{0,5-2}=\pink{-2e^{-1,5}}$$

Wir setzen die farbigen Werte in die Tangentengleichung ein:$$t(x)=\green{6e^{-1,5}}\pink{-2e^{-1,5}}\cdot(x-2)=e^{-1,5}\cdot(10-2x)=-\frac{2}{e\sqrt e}(x-5)$$

Für den letzten Teil musst du nur zeigen, dass gilt:$$\left|\frac{t(1)-f_2(1)}{f_2(1)}\right|<0,02$$Die Freude daran möchte ich dir nicht nehmen ;)

Answer 3

f) Der Graph \( G_{2} \) verläuft im Intervall \( [1 ; 3] \) annähernd geradlinig und kann vereinfacht durch die Tangente \( t \) an diesen Graphen in \( x=2 \) dargestellt werden. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \( t \).

\( G(x)=(x^2+2) \cdot e^{0,5-x}  \)

\( G(2)=(2^2+2) \cdot e^{0,5-2} =6 \cdot e^{-1,5} \)

B \((2|6 \cdot e^{-1,5} )\)

Steigung der Tangente:

\( G'(x)=2x \cdot e^{0,5-x} +(x^2+2) \cdot e^{0,5-x}\cdot(-1)\)

\( G'(2)=2\cdot 2 \cdot e^{0,5-2} -(2^2+2) \cdot e^{0,5-2}\\=-2\cdot e^{-1,5}  \)

Punkt-Steigungsform der Geraden:

\(\frac{y-6 \cdot e^{-1,5}}{x-2}=4\cdot e^{-1,5} -6 \cdot e^{-1,5}=-2e^{-1,5}\)

\(y-6e^{-1,5}=-2e^{-1,5}(x-2)\)

\(y=-2e^{-1,5}(x-2)+6e^{-1,5}\)

Tangente:

\(y=-2e^{-1,5}x+4e^{-1,5}+6e^{-1,5}\)

\(y=-2e^{-1,5}x+10e^{-1,5}\)

Zeigen Sie, dass der Funktionswert der Tangente \( t \) an der Stelle \( x=1 \) um weniger als \( 2 \% \) vom Funktionswert von \( f_{2} \) an dieser Stelle abweicht.

Funktionswerte:

\(y(2)=-2e^{-1,5}\cdot 2+10e^{-1,5}=6e^{-1,5}\)

\(y(1)=-2e^{-1,5}+10e^{-1,5}=8e^{-1,5}\)