Arten von Geradengleichungen

Question

Ein Gerade \( g \) kann auf verschiedene Arten durch eine Gleichung angegeben werden.

Kreuze die beiden Gleichungen an, die keine Gerade darstellen (2 aus 5)!

(1) \(\binom{-6}{7} \cdot\binom{2}{1}=-5 \)

(2) \( \binom{2}{1} \cdot X=\binom{2}{1} \cdot\binom{-6}{7} \)

(3) \( X=\binom{-6}{7}+\binom{2}{1} \)

(4) \( a x+b y=c\) mit \( a,\: b,\: c \in \mathbb{R} \backslash\left\{0\right\} \)

(5) \( X=\binom{-6}{7}+t \cdot\binom{2}{1} \)

Comments

Etwas selbst denken wäre schon sinnvoll!

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Die Aufgabenstellung ist nur sinnvoll für X=\( \vec{X} \)=\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \). Auch fehlt der Zusatz t∈ℝ.

Kennst du das Skalarprodukt und kennst die Summe zweier Vektoren? Weißt du, wie man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert? Wenn nicht, fehlen dir elementarste Grundlagen. Andernfalls forme alle Gleichungen außer (4) mit Hilfe dieser Kenntnisse um.

Answer 1

(5)

\( X=\binom{-6}{7}+t \cdot\binom{2}{1} \)

\(x=-6+2t\)      Auflösung nach  \(t\) :        \(t=0,5x+3\) einsetzen

in  \(y=7+t\)  :     \(y=7+0,5x+3=0,5x+10\)

Answer 2

Hallo.

Rechne doch mal die Ausdrücke aus und dann wird das schon klar sein, was da eine Gerade ist und was nicht. Vorallem die letzten beiden sollten dir eigentlich direkt klar sein.

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Definition einer Geraden im |R^2:

Eine Gerade G ⊂ |R^2 im |R^2 ist hauptsächlich gegeben durch eine eindimensionale Menge (in der Linearen Algebra: Ein eindimensionaler affiner oder linearer Unterraum im |R^2) von Punkten (x,y) ∈ |R^2, welche die zugehörige lineare Gleichung ax + by = c erfüllen. Also die Menge G := {(x,y) ∈ |R^2 : ax + by = c} ⊂ |R^2. Hierbei sind a und b beide reel und dürfen nicht gleichzeitig 0 sein, d.h. es muss gelhen (a,b) ≠ (0,0).

In der Schule nutzt ihr die Tatsache, das ihr die Punkte (x,y) welche die lineare Gleichung erfüllen durch eine ,,Geradengleichung‘‘

G: (x,y) = v + r*w darstellt, welcher einen Fusspunkt v ∈ |R^2 (Ortsvektor) und eine gegebene festgelegte Richtung w ∈ |R^2 \ {(0,0)} (Rictungsvektor) hat, der durch r ∈ |R parametrisiert wird.

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Also kann man Geraden entweder durch diese ,,Geradengleichung‘‘ mit Fusspunkt und Richtung schreiben oder eben direkt als die lineare Gleichung, welche man dann typischerweise nach einer Variable (meistens der zweiten Variable y) umformt und das ist dann zugleich auch eine lineare Funktion.

Überprüfe es also doch mal damit. Ich könnte dir jetzt hier die Lösungen hinschreiben, aber du musst es ja selber lernen…

Comments

Also G := {(x,y) ∈ |R2 : ax + by = c, a,b,c ∈ |R}

Überprüfe das doch mal.

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Steht schon gar nicht mehr da. Hatte mich da vertan. Die Werte a,b sollen ja nicht beide Null sein.

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Okay, aber so, wie es jetzt ist, ist es immer noch nicht klar, dass a und b nicht beide null sein dürfen.

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Jetzt habe ich es hinzugefügt, danke :)

Answer 3

Das Erste ist die wahre Aussage -5=-5 und ist keine Gerade. (trivial)

Das Zweite ist auch keine Gerade, da das was da steht schon gar nicht geht. Auf der linken Seite haben wir ein Skalar mal Vektor, was Vektor ist und auf der rechten Seite ein Skalarprodukt, was eine Zahl ist. Zahl = Vektor kann aus Dimensiongründen nicht sein. Das Zweite ist also absoluter Blödsinn.

Beim dritten haben wir ein Vektor X, was ja wohl auch keine Gerade ist, sondern ein Punkt im R^2

Die letzten beiden sind Geraden. Das sollte dir aus der Definition klar sein.

Damir sind nur die letzten beiden Geraden

Comments

Zu 2: Es steht nirgends, dass \(X\) eine Zahl oder ein Vektor ist. Deine Argumentation ist jedenfalls falsch. Zudem ist in der Aufgabe extra noch hervorgehoben, dass jene Gleichungen angekreuzt werden sollen, die keine Gerade darstellen. Und das sind genau zwei.

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Sieht aber so aus, als wäre X eine Zahl. Sogar wenn X warum auch immer auch ein Vektor sein soll, ist es so wie beim dritten genauso wenig eine Gerade

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Sogar wenn X warum auch immer auch ein Vektor sein soll, ist es so wie beim dritten genauso wenig eine Gerade

Warum denn nicht? Dort steht$$\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -6\\7 \end{pmatrix}$$Setze doch mal für \(X\) folgendes ein:$$X=\begin{pmatrix} -5\\5 \end{pmatrix} \text{oder} = \begin{pmatrix} -2\\-1 \end{pmatrix} \text{oder} = \begin{pmatrix} 2\\-9 \end{pmatrix}$$was kommt den dann heraus?

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Ich plädiere für $$X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$$was auch dem Kontext entspricht. Siehe etwa (4) und (5).

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Sogar wenn X warum auch immer auch ein Vektor sein soll, ist es so wie beim dritten genauso wenig eine Gerade

(2) ist eine Normalenform, die hier eine Gerade beschreibt.

Ausmultipliziert wird sie zur Koordinatenform.

2x + y = -5

Umgestellt zu y=mx+b.

y=-2x-5

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Du meinst vielleicht (2)?

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Du meinst vielleicht (2)?

Ja, natürlich. Danke für den Hinweis. Ich habe es korrigiert.