Beweis der Gleichheit des Integrals einer stetigen Funktion mit dem Funktionswert der stetigen Funktion bei 0

Question

Aufgabe:>Sei \(\varphi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definiert durch

$$\varphi(x) := \begin{cases} \frac{1}{C}\exp\left(\frac{-1}{1-x^2}\right), & \text{wenn } x \in ]-1,1[, \\ 0, & \text{sonst}, \end{cases}$$
wobei \( C := \int_{-1}^{1} \exp\left(\frac{-1}{1-t^2}\right) dt\) ist.

Zeigen Sie, dass für jede stetige Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
$$\lim_{n \to \infty} \int_{-1}^{1} n\varphi(nx)f(x) \, dx = f(0)$$
gilt.

Leider habe ich bisher keinen wirklichen Ansatz. Meine erste Idee war partielle Integration, aber ich weiß nicht, wie ich mit Phi umgehen soll, da diese Funktion an den Randpunkten gleich null ist, was das Bestimmen der Ableitung/des Integrals etwas schwierig macht.

Habt ihr einen Ansatz/Ideen?
Vielen Dank im Voraus!"

Comments

Poste die vollständige Aufgabe, insb. die vorangegangenen Teilaufgaben mitsamt deren Ergebnis.

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@nudger

Ergänzendes:

Die Teilaufgabe war es, zu zeigen, dass \(\phi\) stetig differenzierbar ist. Dies ist \(\phi\) auch, für \(x\in(-\infty,-1)\), \((+1,\infty)\) und \((-1,+1)\) ist das ja aufgrund der Definition von \(\phi\) klar, da die Ausdrücke für \(\phi\) gleich Null sind.

Bei \(x=\pm 1\) gilt die stetige diff'barkeit aber auch, da der limes einerseits gegen Null geht und die Ableitung eben auch stetig ist, da sie ja eine Verkettung und Verknüpfung stetiger Funktionen ist.

Was bei dieser Aufgabe nur etwas schwierig ist, ist, dass ja für gerade \(\pm1\) der Ausdruck von \(\phi\) Null ist und man das ja dann nicht so einfach in die Ableitung für \(x\in(-1,+1)\) einsetzen kann...

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Bitte keine langen Berichte. Die Aufgabe im Original(!) hätte gereicht, und vor allem, was ist denn nun \(\varphi'(x)\) speziell in \(x=0,1\)?

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\(\phi'(x) = \frac{1}{C} \exp\left(\frac{-1}{1-x^2}\right) \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)^2}\)

und für \(x=0\): \(\phi'(0)=0\)

und für \(x=1\) denke ich, dass die Ableitung gleich Null ist.

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Das Folgende ist nur eine heuristische Überlegung, warum die Behauptung eventuell stimmen könnte, aber weit davon entfernt, ein stringenter Beweis zu sein, ich weiß nicht einmal, ob sie auf dem Weg zu einem Beweis hilfreich ist.

Zunächst kannst du mittels der Substitution nx = t das Integral umformen zu
\(\int_{-1}^{1} \varphi(t)f(\frac tn) \, dt \). Für n→∞ wird f(t/n) zu f(0), und das vor das Integral gezogen lässt dort den Faktor 1.

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@ Gast hj2166

Ich hatte mich auch mit der Aufgabe beschäftigt. Wenn man substituiert nx = t, was man natürlich machen darf. Müssten sich dann nicht auch die Integrationsgrenzen ändern.

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Da bin ich mir auch nicht ganz sicher, weil die Funktion ist ja bei \(x\geq 1\) gleich Null, so dass größere Integrationsgrenzen zu Null führen würden, aber ich weiß auch nicht, wie das bei kleineren Grenzen ist...

Danke für eure Antworten!

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Zu den Integrationsgrenzen:
Der Träger von \(\phi\) ist \([-1,1]\). Damit werden die Integrationsgrenzen nach Substitution auf dieses Intervall abgeschnitten.

Answer 1

Hier noch eine kleine Ergänzung.

Die oben von hj2166 angeführte Substitution führt auf

$$I_n = \int_{-1}^{1} n\varphi(nx)f(x) \, dx \stackrel{nx=t}{=} \int_{-n}^{n} \varphi(t)f(t/n) \, dt = \int_{-1}^{1} \varphi(t)f(t/n) \, dt$$

Jetzt kann man die Monotonie des Integrals nutzen und folgende leicht einzusehende Tatsache:

Da \(f\) stetig ist, gilt$$\min_{t\in [-1,1]}f(t/n) = \min_{t \in [-1/n,1/n]} f(t)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}f(0)$$$$\max_{t\in [-1,1]}f(t/n) = \max_{t \in [-1/n,1/n]} f(t)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}f(0)$$
Damit haben wir die Einschließung
$$\min_{t \in [-1/n,1/n]} f(t) \leq I_n \leq \max_{t \in [-1/n,1/n]} f(t)$$

Grenzübergang liefert die gewünschte Behauptung.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort!

Müsste man nicht noch beachten, dass \(\pm 1\) in \(\phi\) eingesetzt gleich Null ist, so dass diesen Wert dann auch von der Stammfunktion angenähert wird?

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Man braucht dabei noch \(\int\limits_{-1}^1 \varphi(x)\, dx=1\) (geht auch ohne das, aber dann mit geänderter Abschätzung) und \(\varphi(x)\ge 0\) für alle \(x\), was aber unschwer einzusehen ist.

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Ok, danke!

Was wäre dann anders bei der Abschätzung, da ja \(\int_{-1}^{1} \phi(dx)=1\) nicht unbedingt gilt (oder?)?

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1. Lies meinen Kommentar nochmal (betr. Integral=1) und 2. vollziehe die Abschätzung nach. Dann wird das klar.

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Dass das Integral 1 ergibt sollte offensichtlich sein. Betrachte das \(C\) aus der Definition.

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Also ich hätte dann gedacht, dass dann diese Abschätzung gilt:

\(\min_{t \in [-1/n,1/n]} f(t)\cdot d \leq I_n \leq \max_{t \in [-1/n,1/n]} f(t)\cdot d\),

für \(d=\int_{-1}^{1}\phi(x) dx\). Aber dann ist ja die zu zeigene Gleichheit nicht mehr erfüllt...

@Apfelmännchen

Aber t ist ja nicht in dem Intervall \((-1,1)\), so dass dieser Fall der Fallunterscheidung in der Definition der Funktion ja nicht dran kommt. Oder verwechsle ich da irgendetwas?

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Ja, das stimmt. Hab mich geirrt, man braucht doch \(\int=1\), aber ist ja kein Problem.

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@jstntllr
Es ist \(\int_{-1}^1\phi(t)\, dt = 1\) per Definition von \(\phi\).

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Aber ist nicht \(\phi(\pm 1)=0\), so dass dann auch das Differenzial gleich Null ist und somit auch die Stammfunktion? Oder irre ich mich.

Weil das stimmt ja, wenn wir innerhalb der Funktion den ersten Fall betrachten (wie du schon sagst, per definitionem), aber den betrachten wir bei \(\pm 1\) ja gar nicht oder?

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Es ist sogar \(\int_{-4235}^{5195}\varphi(x)\,\mathrm{d}x=1\).

Und nein, wenn \(f(x)=0\), folgt daraus nicht, dass \(f'(x)=0\) oder \(F(x)=0\) gilt!

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@jstntllr
Wie wäre es denn, wenn du dir mal die Funktion \(\phi\) plottest?

Und spiele mal das Integral z. Bsp. mit Desmos für verschiedene \(f\) und wachsendem \(n\) durch.

Deine Fragen deuten meines Erachtens darauf hin, dass du das noch nicht gemacht hast.

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@Apfelmännchen und @trancelocation

Stimmt, da habt ihr recht, das dass gilt.

Ich hatte es mir tatsächliuch schon mal geplottet, allerdings hatte da jetzt gerade nicht dran gedacht.

Danke für die Hilfe!