Aufgabe:
Nr. 2 a) habe ich bereits berechnet, aber was genau muss ich bei b) berechnen.
Problem/Ansatz:
Wenn ich weiß was ich rechnen muss bei b) kriege ich das hin, ich weiß nur nicht was genau man da berechnen muss evtl das Integral von F(x,y) ? Aber das Integral über γ verwirrt mich. 
Text erkannt:
2. Aufgabe
(14 Punkte)
Gegeben seien das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( F(x, y)=\left[\begin{array}{c} \sin (y) \\ x \cos (y) \end{array}\right] \)
und der Weg \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( \gamma(t)=\left[\begin{array}{c} \mathrm{e}^{t \ln (3 t+1)} \\ \frac{\pi}{2}(t-1)^{4} \end{array}\right] \)
(a) Untersuchen Sie, ob \( F \) ein Potenzial besitzt und geben Sie dieses gegebenenfalls an.
(b) Bestimmen Sie \( \int \limits_{\gamma} F(\vec{x}) \mathrm{d} \vec{x} \).
Text erkannt:
Nr. 2
a)
\( F(x, y)=\left[\begin{array}{l} \sin (y) \\ x \cos (y) \end{array}\right]_{F_{2}}^{F_{1}} \)
Damit ein potenzial existiert, muss gelten,
\( \begin{array}{l} \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial F_{2}}{\partial x} \quad F_{2}^{\prime}=1 \cdot \cos (y)+x \cdot 0=\cos \\ \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\cos (y) \text { und } \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\cos (y) \\ \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\cos (y)=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\cos (y) \quad V \end{array} \)
Da dies gilt, existiert das potenzial Nun, potenzial angeben :
\( \begin{array}{ll} \nabla \varphi=F(x, y), & \frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_{1}(x, y)=\sin (y) \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_{2}(x, y)=x \cos (y) \\ \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\sin (y) & \\ & \quad \bar{\varphi}(x, y)=\int F_{1} d x=x \sin (y)+g(y) \end{array} \)
Bestimmung von \( g(y) \) durch
\( \frac{\partial \varphi}{\partial y}=x \cos (y) \)
unb?ek,
die Funkt;
von \( y \); vonnè
abhägt
Ableitung von \( \bar{\varphi}(x, y)=x \sin (y)+g(y) \) nach \( y \)
\( \begin{aligned} \frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial y}=x \cos (y)+g^{\prime}(y) & \leftarrow \frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial y} \text { mit } \\ & \frac{\partial \varphi}{\partial y}=x \cos (y) \\ & \text { vergleichen } \end{aligned} \)
个
Ach-
tung
vergleichen
4
\( \rightarrow \) weite
Text erkannt:
15
wir senen, dass \( g^{\prime}(y)=0 \) ist, das bedeutet, dass \( g(y) \) eine Konstante ist, also: \( g(y)=C \). potenzialfunktion lautet aloo:
\( \begin{array}{l} \varphi(x, y)=x \sin (y)+c \\ w_{\gamma}(f)=\int \limits_{0}^{1} f \cdot T=\varphi(\gamma(1))-\varphi(\gamma(0)) \end{array} \)
\( \begin{array}{l} =\left(e^{\ln (4)}\right) \cdot 0 \\ =0 \\ \varphi(r(0))=\varphi\left(\binom{1}{\frac{\pi}{2}}\right)=|1| \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1 / \\ w_{\gamma}(f)=0-1=-1 / \end{array} \)
