Woher soll ich wissen (ohne die Funktion Plotten zu lassen) das die Funktion nur eine NS bei x = 0 hat weil ich habe …

Question

Aufgabe:

f(x) = 1/4x^4 - 2x^2

Nullstelle =

Ausklammern

x * x *( 1/4x^2 - 2 )

Jetzt den Term in der Klammer Null setzten kommt ± Wurzel 8 raus.

Meine Frage ich habe ja zwei x ausgeklammert also x^2 aber die Funktion hat nur eine Nullstelle bei 0.

Woher soll ich wissen (ohne die Funktion Plotten zu lassen) das die Funktion nur eine NS bei x = 0 hat weil ich habe ja 2 mal x ausgeklammert = 2 Nullstellen?

Answer 1

Es spielt keine Rolle, wie oft du das \(x\) ausklammerst, denn aus \(x^2=0\) folgt nur, dass die einzige weitere Nullstelle \(x=0\) ist. Diese Nullstelle hat hier jedoch die Vielfachheit 2 (wird in der Schule meist gar nicht mehr behandelt), eben weil das \(x=0\) quasi in doppelter Form vorkommt. Es ist aber dennoch nur eine weitere Nullstelle.

Du kannst dir ja mal \(f(x)=x^2\) zeichnen lassen. Nach deiner Argumentation müsste diese Funktion ja dann auch zwei Nullstellen haben. Aber wie soll das denn gehen?

Comments

Und wenn man bri einer Funktion   x^4 oder x^5 Ausklammern tut, ist das trotzdem nur eine NS bei x = 0?

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Genau. Sie hat dann die Vielfachheit 4 oder 5, es ist aber dennoch nur eine Nullstelle.

Answer 2

Ich würde 1/4*x^2 ausklammern:

1/4*x^2*(x^2-8) = 0

x1=0, x2/3 = ±√8

Die Fkt. hat 3 Nullstellen.

x=0 ist eine Extremstelle. f(x) ist eine quartische Fkt.

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Mal wieder die eigentliche Frage völlig ignoriert.

Answer 3

\(f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\)

\( \frac{1}{4}x^4 - 2x^2=0 |\cdot 4\)

\( x^4 - 8x^2=0\)

\( x^2(x^2 - 8)=0\)

Satz vom Nullprodukt:

1.)

\(x^2=0\)

\(x_1,_2=0\) ist eine doppelte Nullstelle

2.)

\( x^2 -8=0\)

\( x^2 =8|±\sqrt{~~}\)

\(x_3=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

\(x_4=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}\)

Comments

Der nächste, der die Frage ignoriert.