Ist das bei a) richtig?

Question

f(0)=4

f(4)=0

f‘(0)=-1

f‘(4)=-1
f“(0)=0
f“(4)=-1
f(0)=4; g=4

f(4)=0; 1024a+256b+64c+16d+4e+g=0
f‘(0)=-1; e=0
f‘(4)=-1; 1280a+256b+48c+8d+e=-1
f“(0)=0; d=0
f“(4)=0; 1280a+192b+24c+2d=0

f(x)= 0.0234375x^5-0.234375x^4+0.625x3-x
Ist das bei a) richtig?

Comments

Da bei a) nach dem "Verlauf der Umgehungsstraße" gefragt wird, würde ich sie durch C gehen lassen.

Du wirst dann feststellen, dass es keine Lösung geibt, wenn sie durch C gehen soll und bei A und B krümmungsruckfrei sein soll. Weil dann hat gibt es 7 Gleichungen für 6 Koeffizienten. Das ist wohl mit "überraschendem Ergebnis" gemeint.

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Wohl eher nicht. Die Aufgabe ist ganz offenbar so gestaltet, dass der Punkt C in Teil a) gar nicht berücksichtigt werden soll. Ansonsten wäre in b) als "zusätzliche Bedingung" nicht explizit erwähnt worden. Und wer kommt denn auf die Idee, einfach mal das "krümmungsrückfrei" wegzulassen?

Answer 1

Ob Dein Ergebnis stimmt, kannst Du auch selbst überprüfen, indem Du prüfst, ob die Vorgaben erfüllt sind (Probe).

Es ist f(0)=0, es soll aber f(0)=4 sein.

Ein Tippfehler: die Vorgabe lautet f''(4)=0 (keine Krümmung, nicht =-1).

Comments

Danke, eine Frage noch,was ist das überraschende Ergebnis hier?

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Erstmal sorry, hab oben nochmal editiert, hatte was übersehen.

Und wenn Du richtig rechnest, erhältst Du als Ergebnis f(x)=-x+4 (Probe ist in 2 Min. erledigt). Kannst Du das "überraschende Ergebnis" nun erklären?

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Vielen Dank, leider genau verstehe nicht was ist mit überraschende Ergebnis gemeint ist

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Gesucht ist eine Funktion 5. Grades... Aber?

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Denkanstoß gescheitert, der Fragesteller kann es bei einer anderen Antwort ablesen.

Answer 2

a) Die 6 Bedingungen ohne die für C lauten:

f(0) = 4
f'(0) = -1
f''(0) = 0
f(4) = 0
f'(4) = -1
f''(4) = 0

Damit ergibt sich als trivialer Fall die lineare Funktion. Alle anderen Koeffizienten der Funktion 5. Grades ergeben sich also zu null!

f(x) = 4 - x

b) Hier kommt die Bedingung f(2) = 1 hinzu und damit ergibt sich folgende Funktion 6. Grades

f(x) = 1/64·x^6 - 3/16·x^5 + 3/4·x^4 - x^3 - x + 4

c) Hier sind letztendlich 2 Funktionen 4. Grades gesucht. Das war damals 'ne ziemliche Rechnerei. Hier nur mal mein Kontrollergebnis

Verbindung von A und C

f(x) = 3/16·x^4 - 1/2·x^3 - x + 4

Verbindung von C und B

g(x) = 3/16·x^4 - 5/2·x^3 + 12·x^2 - 25·x + 20

Skizze

~plot~ (3/16·x^4-1/2·x^3-x+4)*(x>0)*(x<2);(3/16·x^4-5/2·x^3+12·x^2-25·x+20)*(x>2)*(x<4);(1/64·x^6-3/16·x^5+3/4·x^4-x^3-x+4)*(x>0)*(x<4);[[-1|7|-1|5]] ~plot~

Comments

a) enthält nichts neues, nach b) und c) war nicht gefragt.  

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Danke, Können Sie mir bitte auch sagen, welche Bedingungen Sie verwendet haben? Ich habe nur vier Bedingungen gefunden.

A nach C

f(0)=4

f(2)=1

f‘(0)=-1

f“(0)=0

Und für beiden

f‘(2)=g‘(2)

f“(2)=g“(2)

B nach C

g(4)=0

g(2)=1

g‘(4)=-1

g“(4)=0

Mit 6 Bedingungen ergibt sich eine Funktion 5. Grades, nicht 4. Grades. Irgendwo mache ich einen Fehler, aber ich weiß nicht, wo.

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Die Bedingungen wären so richtig. Du hast insgesamt 10 Bedingungen und 2 Gleichungen mit jeweils 5 Parametern sind 10 Parameter. Damit bekommst du das schön hin.

Du musst das eben als gesamtes Gleichungssystem betrachten.

Mit den Bedingungen von A nach C bekommst du auch schon direkt 3 Parameter weg, sodass nur noch 2 übrigbleiben. Betrachtest du die Funktion von B nach C und verschiebst diese, würdest du dort auch schon geschickt 3 unbekannte wegbekommen. Dann bleiben noch 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten nach was natürlich deutlich einfacher ist.

Du könntest beide Wege mal Probieren. Wenn du nicht weiter weißt, frag einfach nach.

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Irgendwie verstehe leider nicht, also welche 3 Parameter soll ich wegbekommen.

Mit meinem Rechnung bekomme ich:

f(x)=-1/16x^4-x+4

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Nimm z.B. als Ansatz die Funktionen

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
g(x) = hx^4 + ix^3 + jx^2 + kx + l

Kannst du jetzt zu den obigen 10 Bedingungen die Gleichungen notieren?

Durch die Bedingungen

f(0) = 4
f‘(0) = -1
f“(0) = 0

kannst du direkt 3 der Parameter bestimmen.

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f(0)=4 ; e=4

f‘(0)=-1; d=-1

f“(0)=0; c=0

f(2)=1; 16a+8b+4c+2d+e=1

f‘(2)=g‘(2); 32a+12b+4c+d=g“(2)

f“(2)=g“(2); 48a+12b+2c=g“(2)

g(4)=0; 256a+64b+16c+4d+e=0

g‘(4)=-1; 256a+48b+8c+d=-1

g“(4)=0; 192a+24b+2c=0

g(2)=1 ; 16a+8b+4c+2d+e=1

Das sind die Berechnungen, die ich gemacht habe. Was soll ich als Nächstes tun? Am Ende erhalte ich immer wieder ein anderes Ergebnis als Sie.

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Wenn du die Gleichungen für g aufstellst, dann sollten die Parameter nicht a bis e lauten. Du hast doch 2 verschiedene Funktionen.

Weiterhin kannst du g'(2) und g''(2) noch durch Gleichungen ersetzen.

Achtung du hattest dort noch einen Tippfehler.

Hier nur zur Kontrolle, nachdem du es selber verbessert hast:

[spoiler]

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e
g(x) = h·x^4 + i·x^3 + j·x^2 + k·x + l

f(0) = 4 → e = 4
f'(0) = -1 → d = -1
f''(0) = 0 → 2·c = 0
f(2) = 1 → 16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 1

f'(2) = g'(2) → 32·a + 12·b + 4·c + d = 32·h + 12·i + 4·j + k
f''(2) = g''(2) → 48·a + 12·b + 2·c = 48·h + 12·i + 2·j

g(4) = 0 → 256·h + 64·i + 16·j + 4·k + l = 0
g'(4) = -1 → 256·h + 48·i + 8·j + k = -1
g''(4) = 0 → 192·h + 24·i + 2·j = 0
g(2) = 1 → 16·h + 8·i + 4·j + 2·k + l = 1

[/spoiler]