Ist das bei a) richtig?

Question

f(0)=4

f(4)=0

f‘(0)=-1

f‘(4)=-1
f“(0)=0
f“(4)=-1
f(0)=4; g=4

f(4)=0; 1024a+256b+64c+16d+4e+g=0
f‘(0)=-1; e=0
f‘(4)=-1; 1280a+256b+48c+8d+e=-1
f“(0)=0; d=0
f“(4)=0; 1280a+192b+24c+2d=0

f(x)= 0.0234375x^5-0.234375x^4+0.625x3-x
Ist das bei a) richtig?

Comments

Da bei a) nach dem "Verlauf der Umgehungsstraße" gefragt wird, würde ich sie durch C gehen lassen.

Du wirst dann feststellen, dass es keine Lösung gibt, wenn sie durch C gehen soll und bei A und B krümmungsruckfrei sein soll. Weil es dann 7 Gleichungen für 6 Koeffizienten gibt. Das ist wohl mit "überraschendem Ergebnis" gemeint. Wenn nicht krümmungsruckfrei, gibt es beliebig viele Lösungen, weil 5 Gleichungen.

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Wohl eher nicht. Die Aufgabe ist ganz offenbar so gestaltet, dass der Punkt C in Teil a) gar nicht berücksichtigt werden soll. Ansonsten wäre in b) als "zusätzliche Bedingung" nicht explizit erwähnt worden. Und wer kommt denn auf die Idee, einfach mal das "krümmungsrückfrei" wegzulassen?

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was für eine Aufgabe, es gibt so viel Interpretationsspielraum. Für mich sieht das so aus, dass bei a) die alte Straße alle Bedingungen hinsichtlich tangential und krümmungsruckfrei erfüllt - das ist m.E. die Überraschung, ich mag mich irren.

An alle ausser Nikaaa: Vor x Jahren habe ich etwas über ruckfrei gehört, es handelte sich aber um eine Sinusfunktion und das wurde dann noch einmal gedreht oder phasenverschoben. Der Wert x steht hier für die universelle Antwort und ich wundere mich, dass ich ausgerechnet das noch im Kopf habe.

Answer 1

Ob Dein Ergebnis stimmt, kannst Du auch selbst überprüfen, indem Du prüfst, ob die Vorgaben erfüllt sind (Probe).

Es ist f(0)=0, es soll aber f(0)=4 sein.

Ein Tippfehler: die Vorgabe lautet f''(4)=0 (keine Krümmung, nicht =-1).

Comments

Danke, eine Frage noch,was ist das überraschende Ergebnis hier?

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Erstmal sorry, hab oben nochmal editiert, hatte was übersehen.

Und wenn Du richtig rechnest, erhältst Du als Ergebnis f(x)=-x+4 (Probe ist in 2 Min. erledigt). Kannst Du das "überraschende Ergebnis" nun erklären?

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Vielen Dank, leider genau verstehe nicht was ist mit überraschende Ergebnis gemeint ist

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Gesucht ist eine Funktion 5. Grades... Aber?

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Denkanstoß gescheitert, der Fragesteller kann es bei einer anderen Antwort ablesen.

Answer 2

a) Die 6 Bedingungen ohne die für C lauten:

f(0) = 4
f'(0) = -1
f''(0) = 0
f(4) = 0
f'(4) = -1
f''(4) = 0

Damit ergibt sich als trivialer Fall die lineare Funktion. Alle anderen Koeffizienten der Funktion 5. Grades ergeben sich also zu null!

f(x) = 4 - x

b) Hier kommt die Bedingung f(2) = 1 hinzu und damit ergibt sich folgende Funktion 6. Grades

f(x) = 1/64·x^6 - 3/16·x^5 + 3/4·x^4 - x^3 - x + 4

c) Hier sind letztendlich 2 Funktionen 4. Grades gesucht. Das war damals 'ne ziemliche Rechnerei. Hier nur mal mein Kontrollergebnis

Verbindung von A und C

f(x) = 3/16·x^4 - 1/2·x^3 - x + 4

Verbindung von C und B

g(x) = 3/16·x^4 - 5/2·x^3 + 12·x^2 - 25·x + 20

Skizze

~plot~ (3/16·x^4-1/2·x^3-x+4)*(x>0)*(x<2);(3/16·x^4-5/2·x^3+12·x^2-25·x+20)*(x>2)*(x<4);(1/64·x^6-3/16·x^5+3/4·x^4-x^3-x+4)*(x>0)*(x<4);[[-1|7|-1|5]] ~plot~

Comments

Danke, Können Sie mir bitte auch sagen, welche Bedingungen Sie verwendet haben? Ich habe nur vier Bedingungen gefunden.

A nach C

f(0)=4

f(2)=1

f‘(0)=-1

f“(0)=0

Und für beiden

f‘(2)=g‘(2)

f“(2)=g“(2)

B nach C

g(4)=0

g(2)=1

g‘(4)=-1

g“(4)=0

Mit 6 Bedingungen ergibt sich eine Funktion 5. Grades, nicht 4. Grades. Irgendwo mache ich einen Fehler, aber ich weiß nicht, wo.

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Die Bedingungen wären so richtig. Du hast insgesamt 10 Bedingungen und 2 Gleichungen mit jeweils 5 Parametern sind 10 Parameter. Damit bekommst du das schön hin.

Du musst das eben als gesamtes Gleichungssystem betrachten.

Mit den Bedingungen von A nach C bekommst du auch schon direkt 3 Parameter weg, sodass nur noch 2 übrigbleiben. Betrachtest du die Funktion von B nach C und verschiebst diese, würdest du dort auch schon geschickt 3 unbekannte wegbekommen. Dann bleiben noch 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten nach was natürlich deutlich einfacher ist.

Du könntest beide Wege mal Probieren. Wenn du nicht weiter weißt, frag einfach nach.

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Irgendwie verstehe leider nicht, also welche 3 Parameter soll ich wegbekommen.

Mit meinem Rechnung bekomme ich:

f(x)=-1/16x^4-x+4

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Nimm z.B. als Ansatz die Funktionen

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
g(x) = hx^4 + ix^3 + jx^2 + kx + l

Kannst du jetzt zu den obigen 10 Bedingungen die Gleichungen notieren?

Durch die Bedingungen

f(0) = 4
f‘(0) = -1
f“(0) = 0

kannst du direkt 3 der Parameter bestimmen.

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f(0)=4 ; e=4

f‘(0)=-1; d=-1

f“(0)=0; c=0

f(2)=1; 16a+8b+4c+2d+e=1

f‘(2)=g‘(2); 32a+12b+4c+d=g“(2)

f“(2)=g“(2); 48a+12b+2c=g“(2)

g(4)=0; 256a+64b+16c+4d+e=0

g‘(4)=-1; 256a+48b+8c+d=-1

g“(4)=0; 192a+24b+2c=0

g(2)=1 ; 16a+8b+4c+2d+e=1

Das sind die Berechnungen, die ich gemacht habe. Was soll ich als Nächstes tun? Am Ende erhalte ich immer wieder ein anderes Ergebnis als Sie.

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Wenn du die Gleichungen für g aufstellst, dann sollten die Parameter nicht a bis e lauten. Du hast doch 2 verschiedene Funktionen.

Weiterhin kannst du g'(2) und g''(2) noch durch Gleichungen ersetzen.

Achtung du hattest dort noch einen Tippfehler.

Hier nur zur Kontrolle, nachdem du es selber verbessert hast:

[spoiler]

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e
g(x) = h·x^4 + i·x^3 + j·x^2 + k·x + l

f(0) = 4 → e = 4
f'(0) = -1 → d = -1
f''(0) = 0 → 2·c = 0
f(2) = 1 → 16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 1

f'(2) = g'(2) → 32·a + 12·b + 4·c + d = 32·h + 12·i + 4·j + k
f''(2) = g''(2) → 48·a + 12·b + 2·c = 48·h + 12·i + 2·j

g(4) = 0 → 256·h + 64·i + 16·j + 4·k + l = 0
g'(4) = -1 → 256·h + 48·i + 8·j + k = -1
g''(4) = 0 → 192·h + 24·i + 2·j = 0
g(2) = 1 → 16·h + 8·i + 4·j + 2·k + l = 1

[/spoiler]

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Wie soll ich —> f‘(x)=f‘(g)

als Matrix in den Taschenrechner eingeben?

die anderen habe ich, bei meine Rechnung bekomme ich b=0.75. ich glaube ich mache Fehler hier.

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Wie soll ich —> f‘(x)=f‘(g)

als Matrix in den Taschenrechner eingeben?

Ich verstehe dein f‘(x) = f‘(g) nicht. Die 10 Gleichungen mit den 10 Unbekannten hatte ich notiert zur Kontrolle. Du kannst 3 Unbekannte ja direkt berechnen und in den übrigen Gleichungen ersetzen. Bleibt ein Gleichungssystem mit 7 Gleichungen und 7 Unbekannten. Das müsstest du in den TR eingeben. Kann dein Taschenrechner keine 7 Gleichungen mit 7 Unbekannten direkt verarbeiten, müsstest du zunächst das Gauss-Verfahren so oft anwenden, bis du eine Anzahl an Gleichungen und Unbekannten hast, was der TR verarbeiten kann.

die anderen habe ich, bei meine Rechnung bekomme ich b=0.75. ich glaube ich mache Fehler hier.

Nicht nur vermutlich, sondern garantiert. Zumindest, wenn meine Kontrolllösung richtig ist.

Meine erste Funktion war ja f(x) = 3/16·x^4 - 1/2·x^3 - x + 4 und damit sollte b = - 1/2 sein.

Was du verkehrt gemacht hast, könnte ich erst sagen, wenn ich deine Vorgehensweise kenne. Wenn du aber bereits Schwierigkeiten hattest das in den TR einzugeben, ist es vielleicht nicht verwunderlich, wenn die Lösung nicht stimmt.

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Danke,ich habe mein Fehler gefunden,

f‘(2)=g‘(2) diese Gleichung wusste nicht wie TR eingeben sollte.

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Aber jetzt ist alles klar? Und du kommst auch auf die richtigen Ergebnisse?

Was für einen TR benutzt ihr denn? Einfach ein CAS Rechner? Oder einen wissenschaftlichen?

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Immer noch nicht ganz.

Ich benutze TI 84 plus

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Also einen normalen wissenschaftlichen Rechner. Was ist denn die maximale Matritzengröße die du eingeben kannst?

Eine 7 x 8 Matrix wird ihm wohl zu groß sein, nehme ich an, oder?