Berechne alle Winkel im Dreieck PQR

Question

Aufgabe:

Berechne alle Winkel im Dreieck PQR

P(1/2/2) Q(3/4/2) R(2/3/2+√3)

Problem/Ansatz:

Ich komme auf Winkel, die für mich keinen Sinn ergeben und verstehe nicht, was ich falsch gemacht habe. Ich finde einfach meinen Fehler nicht.

Mein einer Winkel ist: 129,23°

Den habe ich berechnet: arccos=(-2-2)/(√5*√8)

Der andere: 78,46°

Berechnung: arccos=(-1-1+3)/(√5*√5)

Berechnet habe ich beides mit dem Skalarprodukt, also der Formel: cosy=(ā*b)/(/ā/*/b/)

Dann würde man den dritten Winkel ja mit der Innenwinkelsumme eines dreiecks ausrechnen, also 180°-129,23°-78,46°=-27,69°

Da ist dann das Problem, der Winkel kann doch nicht negativ sein, das würde ja heißen eine Innenwinkelsumme von über 180°, oder? Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Achte darauf, die korrekten Vektoren zu verwenden. Für den Winkel \(\angle PQR\) bei \(Q\) müssen die Vektoren

        \(\vec{QP} = \vec{OP}-\vec{OQ} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}\)

und

        \(\vec{QR} = \vec{OR}-\vec{OQ} = \begin{pmatrix}2\\3\\2+\sqrt{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}\)

verwendet werden. Also die Vektoren, die von \(Q\) ausgehen, und nicht deren Gegenvektoren. Damit ergibt sich

        \(\begin{aligned} & \cos\angle PQR\\=\, & \frac{\vec{QR}*\vec{QP}}{\left|\vec{QR}\right|\cdot\left|\vec{QP}\right|}\\=\, & \frac{-1\cdot\left(-2\right)-1\cdot\left(-2\right)+\sqrt{3}\cdot0}{\sqrt{\left(-1\right)^{2}+\left(-1\right)^{2}+\sqrt{3}^{2}}\cdot\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(-2\right)^{2}+0^{2}}}\\=\, & \frac{4}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{8}}\end{aligned}\)

Den habe ich berechnet: arccos=(-2-2)/(√5*√8)

Es scheint als ob du entweder \(\vec{PQ}\) oder \(\vec{RQ}\) verwendet hast.

Answer 2

PQ = Q - P = [2, 2, 0]

PR = R - P = [1, 1, √3]

QR = R - Q = [-1, -1, √3]

∠QPR = ARCCOS(PQ·PR / (|PQ|·|PR|)) ≈ 50.77°

∠RQP = ARCCOS(-PQ·QR / (|PQ|·|QR|)) ≈ 50.77°

∠PRQ = ARCCOS(PR·QR / (|PR|·|QR|)) ≈ 78.46°

Comments

Bei dem Winkel ∠RQP müsstest du entweder die Vektoren QP und QR benutzen oder auch PQ und RQ. Ansonsten kannst du auch wie ich ein Minus im Zähler verwenden um einen der Vektoren zum Gegenvektor zu machen.

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ARCCOS(-PR·QR / (|PR|·|QR|)) ≈ 78.46°

Hier ist das Vorzeichen allerdings falsch.

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Deine Mitteilung kam kurz nach meiner Korrektur aber trotzdem Danke das du aufpasst.

Answer 3

Beachte, dass die Vektoren, die du für die Winkel verwendest, so orientiert sind, dass sie vom Eckpunkt des Dreiecks wegführen. Ansonsten bekommst du den zu 180° ergänzten Nebenwinkel. Das kann dann dazu führen, dass deine Innenwinkelsumme nicht 180° ergibt. Da sich bei Änderung der Orientierung nur die Vorzeichen des Vektors ändern, reicht es, in der Formel das Vorzeichen im Zähler zu ändern, um dann den korrekten Winkel zu bekommen. Oder noch einfacher: berechne einfach den Nebenwinkel des "falschen" Winkels, indem du ihn von 180° subtrahierst.