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Aufgabe:

$$\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\int\limits_{0}^{4} \cos(\pi x^{3})\, \text{d}y \; \text{d}x$$


Problem/Ansatz

Ich bin mit der Supstitution bis fast zun ende gekommen 4*[1/2*cos(pi*x^3)^2 * 1/(3*pi*x^2)] und wenn ich die grenzen 2 und wurzel aus y einsetze weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll und ob mein Lösungsansatz überhaupt richtig sei.. ich wäre um jede Hilfe dankbar!

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Aloha :)

Das Integral sehr "unübersichtlich" angegeben:$$I=\int\limits_{\sqrt y}^2\int\limits_{0}^4\cos(\pi\,x^3)\,dy\,dx=\int\limits_{y=0}^4\left(\;\;\int\limits_{x=\sqrt y}^2\cos(\pi\,x^3)\,dx\right)\,dy$$Da die Variable \(y\) in Form von \(\sqrt y\) als untere Integrationsgrenze vorkommt, musst du zunächst über \(dx\) integrieren und dabei den Wert von \(y\) festhalten. In dem Ergebnis dieser Integration taucht dann nach Einsetzen der Grenzen die Variable \(x\) nicht mehr auf und du kannst weiter über \(dy\) integrieren.

Konkret wird über folgende Menge integriert:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,\sqrt y\le x\le 2\;\land\;0\le y\le 4\}$$blob.png

Du wählst hier zuerst \(y\in[0;4]\) aus und hälst es fest. Dadurch wählst du eine horizontale Linie in der Figur aus. Für dieses \(y\) bzw. auf dieser Linie startet der \(x\)-Wert dann bei \(\sqrt y\) und geht bis \(2\).

Du könntest aber auch zuerst \(x\in[0;2]\) auswählen und festhalten. Dadurch wählst du eine vertikale Linie in der Figur aus. Für dieses \(x\) bzw. auf dieser Linie startet \(y\) dann bei \(0\) und geht bis \(x^2\).

Du kannst also die Menge \(M\), über die integriert wird, auch so beschreiben:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le 2\;\land\;0\le y\le x^2\}$$

Das führt dann auf folgendes Integral:$$I=\int\limits_{x=0}^2\left(\;\;\int\limits_{y=0}^{x^2}\cos(\pi\,x^3)\,dy\right)dx$$

Die Reihenfolge der Integration ist nun vertauscht:$$I=\int\limits_{x=0}^2\left[\cos(\pi\,x^3)\cdot y\right]_{y=0}^{x^2}dx=\int\limits_{x=0}^2\cos(\pi\,x^3)\cdot x^2\,dx=\frac{1}{3\pi}\int\limits_{x=0}^2\cos(\pi\,x^3)\cdot\pink{3\pi x^2}\,dx$$

In dem verbliebenen Integral ist \(\pink{3\pi x^2}\) die Ableitung der inneren Funktion \((\pi x^3)\), sodass du das Integral sofort hinschreiben kannst:$$I=\frac{1}{3\pi}\left[\sin(\pi\,x^3)\right]_{x=0}^2=\frac{1}{3\pi}\left(\sin(8\pi)-\sin(0)\right)=0$$

Avatar von 152 k 🚀

Dankeschön!! ☺️

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Meinst du so?

\( \int\limits_{\sqrt{y}}^{2} \int\limits_{0}^{4}cos(pi*x^3) dy dx\)

Das ist ja erst mal

\( \int\limits_{\sqrt{y}}^{2} 4\cdot cos(pi*x^3) dx\)

und eine Stammfunktion ist

\( -\frac{2\left(\Gamma\left(\frac{1}{3}, \mathrm{i} \pi x^{3}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{3},-\mathrm{i} \pi x^{3}\right)\right)}{3 \sqrt[6]{-1} \sqrt[3]{\pi}} \)


Bist du sicher, dass die Aufgabe so lautet?

Avatar von 55 k 🚀

Die Aufgabe lautet eigentlich: Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge: integral von 0 bis 4 integral von wurzel y bis 2 von cos(pi*x^3) dx dy

Beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge musst du unbedingt auch die Integrationsgrenzen entsprechend anpassen. Das gelingt dir am einfachstn, wenn du dir das Integrationsgebiet zunächst skizzierst und dann von einer horizontalen Schraffur auf eine vertikale wechselst.

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