Aloha :)
Das Integral sehr "unübersichtlich" angegeben:$$I=\int\limits_{\sqrt y}^2\int\limits_{0}^4\cos(\pi\,x^3)\,dy\,dx=\int\limits_{y=0}^4\left(\;\;\int\limits_{x=\sqrt y}^2\cos(\pi\,x^3)\,dx\right)\,dy$$Da die Variable \(y\) in Form von \(\sqrt y\) als untere Integrationsgrenze vorkommt, musst du zunächst über \(dx\) integrieren und dabei den Wert von \(y\) festhalten. In dem Ergebnis dieser Integration taucht dann nach Einsetzen der Grenzen die Variable \(x\) nicht mehr auf und du kannst weiter über \(dy\) integrieren.
Konkret wird über folgende Menge integriert:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,\sqrt y\le x\le 2\;\land\;0\le y\le 4\}$$
Du wählst hier zuerst \(y\in[0;4]\) aus und hälst es fest. Dadurch wählst du eine horizontale Linie in der Figur aus. Für dieses \(y\) bzw. auf dieser Linie startet der \(x\)-Wert dann bei \(\sqrt y\) und geht bis \(2\).
Du könntest aber auch zuerst \(x\in[0;2]\) auswählen und festhalten. Dadurch wählst du eine vertikale Linie in der Figur aus. Für dieses \(x\) bzw. auf dieser Linie startet \(y\) dann bei \(0\) und geht bis \(x^2\).
Du kannst also die Menge \(M\), über die integriert wird, auch so beschreiben:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le 2\;\land\;0\le y\le x^2\}$$
Das führt dann auf folgendes Integral:$$I=\int\limits_{x=0}^2\left(\;\;\int\limits_{y=0}^{x^2}\cos(\pi\,x^3)\,dy\right)dx$$
Die Reihenfolge der Integration ist nun vertauscht:$$I=\int\limits_{x=0}^2\left[\cos(\pi\,x^3)\cdot y\right]_{y=0}^{x^2}dx=\int\limits_{x=0}^2\cos(\pi\,x^3)\cdot x^2\,dx=\frac{1}{3\pi}\int\limits_{x=0}^2\cos(\pi\,x^3)\cdot\pink{3\pi x^2}\,dx$$
In dem verbliebenen Integral ist \(\pink{3\pi x^2}\) die Ableitung der inneren Funktion \((\pi x^3)\), sodass du das Integral sofort hinschreiben kannst:$$I=\frac{1}{3\pi}\left[\sin(\pi\,x^3)\right]_{x=0}^2=\frac{1}{3\pi}\left(\sin(8\pi)-\sin(0)\right)=0$$
