Wie definiere ich eine Abbildung, sodass verschiedene Eigenschaften erfüllt werden?

Question

Wie definiere ich eine Abbildung f:ℕ→ℕ sodass f surjektiv ist?

Wie definiere ich sie so, dass die Menge der Urbilder von 1 unter f unendlich viele Elemente hat?

Ich habe etwas von f(n)={1 für ungerade n und n/2 für gerade n gelesen.

Steht dort die 1 bereits dafür, dass die Abbildung unendlich viele ungerade n besitzt?

Warum wird für gerade Zahlen n/2 verwendet?

Answer 1

Dabei helfen Pfeildiagramme, siehe z.B. https://madipedia.de/wiki/Pfeildiagramm

Zeichne für die gewünschte Anforderung ein solches. Danach(!) überlege Dir, wie man die gezeichnete Funktion als f(n)=... schreibt.

Answer 2

Für Surjektivität musst du ja gewährleisten, dass du zu jeder natürlichen Zahl auch ein Urbild findest. Gleichzeitig musst du dafür sorgen, dass die Urbildmenge von 1 unendlich viele Elemente besitzt.

Deine angegebene Abbildung erfüllt genau diese Eigenschaften, denn jede ungerade natürliche Zahl ist in der Urbildmenge von 1 und besitzt unendlich viele Elemente.

Damit aber auch jedes andere Element aus \(\mathbb{N}\) getroffen wird, muss du eine Vorschrift finden, so dass es stets ein Urbild gibt. Das ist mit \(\frac{n}{2}\) für jedes gerade \(n\) ja auch erfüllt, weil du mit dieser Vorschrift jede natürliche Zahl abbilden kannst.

Comments

Danke, das hilft schonmal weiter! Ich frage mich noch, warum überhaupt jede ungerade natürliche Zahl in der Urbildmenge von 1 ist?

Warum bildet \( \frac{n}{2} \) jede gerade Zahl ab? Weil ich jede gerade Zahl für n einsetzen kann und dann ist das Ergebnis das Urbild? Beispiel \( \frac{4}{2} \) = 2, d.h. 2 ist dann das Urbild von 4? Warum wird genau \( \frac{n}{2} \) ausgewählt für die geraden Zahlen n?

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Das habe ich doch erklärt.

1) \(f(n)=1\) für jede ungerade Zahl. Was ist dann also die Urbildmenge von 1?

2) \(f(2)=1\), \(f(4)=2\), \(f(6)=3\), ... damit kannst du doch jede natürliche Zahl erhalten. Du musst doch für jede (!) natürliche Zahl ein Urbild finden. Wenn also \(m\) eine beliebige natürlich Zahl ist, kannst du \(2m\) (ist immer gerade) als Urbild wählen. Daraus folgt \(f(2m)=m\) oder eben \(f(n)=\frac{n}{2}\) für gerade \(n\).

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Also da f(n)=1 unabhängig von der Eingabe n immer den Wert 1 ergibt, ist die Urbildmenge einfach die Menge aller Zahlen n, die überhaupt als Eingabe in Frage kommen?

Warum gilt die Funktion nur für ungerade Zahlen n?

Könnte ich für die Surjektivität auch beispielsweise f(n)=n nehmen?

Oder muss man immer einmal ungerade und einmal gerade Zahlen definieren und deswegen wurden bei f(n)=1 die ungeraden n ausgewählt und für die Surjektivität dann die geraden n?

Sorry, mache so etwas zum ersten Mal.

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Gerade wenn man das zum ersten Mal macht, helfen Pfeildiagramme enorm.

Könnte ich für die Surjektivität auch beispielsweise f(n)=n nehmen?

Genau darauf wärst Du sofort mit Pfeildiagrammen gekommen.

Da werden die Begriffe sofort anschaulich.

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Muss ich das nun noch ein drittes Mal erklären?

Warum gilt die Funktion nur für ungerade Zahlen n?

Weil die Funktion so definiert wurde!

ist die Urbildmenge einfach die Menge aller Zahlen n, die überhaupt als Eingabe in Frage kommen?

Wenn Begriffe in einer Aufgabe unklar sind, solltest du diese erst einmal klären. Die Urbildmenge eines Elements enthält alle Elemente, die durch die Abbildung auf dieses Element abbilden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)

Könnte ich für die Surjektivität auch beispielsweise f(n)=n nehmen?

Gehe mal dem Hinweis von @nudger nach.

Oder muss man immer einmal ungerade und einmal gerade Zahlen definieren und deswegen wurden bei f(n)=1 die ungeraden n ausgewählt und für die Surjektivität dann die geraden n?

Das muss man selbstverständlich nicht. Aber du hast für deine Abbildung zusätzlich die Eigenschaft, dass die Urbildmenge von 1 unendlich viele Elemente enthalten soll. Im Fall \(f(n)=1\) ist die Urbildmenge von 1 aber lediglich die Menge \(\{1\}\) und damit nicht unendlich.

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Danke, sorry, ich muss das erst noch lernen bevor ich es besser kann.

Nein du musst ja nicht antworten.

Das war meine Frage, ob das nur für ungerade Zahlen gilt, weil man es so bestimmt, dann ist die Frage geklärt.

Die Frage zum Urbild war explizit darauf bezogen, ob es bei der Funktion f(n)=1 alle Elemente enthält, weil sich alle einsetzen lassen. Mir ging es da nicht mehr darum, was ein Urbild ist. Die Frage wurde dann mit der Vorherigen auch geklärt.

Könnte man dann auch sagen, dass f(n)=1 für alle geraden n gilt und dann für die ungeraden n z.B. f(n)=\( \frac{n+1}{2} \)

Die Pfeildiagramme hatte ich zum Lernen benutzt, die waren auch hilfreich und ich weiß wie das für die Surjektivität aussieht, also verbindet die Funktion f(n)=n jedes n aus der Wertemenge mit mindestens einem n aus dem Urbild. Dann kann man die Funktion verwenden für alle geraden oder ungeraden n?

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Dann kann man die Funktion verwenden für alle geraden oder ungeraden n?

Dann wiederum nicht, weil du ja dann nicht mehr jedes \(n\) trifft, sondern nur noch die geraden oder die ungeraden. Damit wäre die Abbildung nicht mehr surjektiv.

Könnte man dann auch sagen, dass f(n)=1 für alle geraden n gilt und dann für die ungeraden n z.B. f(n)=\( \frac{n+1}{2} \)

Das geht auch.