Aloha :)
Du musst dir zunächst klar machen, wie "der" Abstand einer Ebene \(E\) von einem Punkt \(P\) definiert ist. Eine Ebene \(E\) hat ja unendlich viele Punkte und für jeden dieser Punkte kannst du den Abstand zum Punkt \(P\) berechnen. Das liefert dir unendlich viele Abstände. Was soll dann "der" Abstand der Ebene \(E\) von dem Punkt \(P\) sein? Gemeint ist damit der kürzeste Abstand, den ein Punkt der Ebene \(E\) zum Punkt \(P\) hat.
In der Aufgabe selbst fangen wir erstmal klein an und suchen uns einen Punkt \(M\), der gleich weit von den Punkten \(P(1|4|6)\) und \(Q(3|-4|-2)\) entfernt ist, also den Mittelpunkt der Strecke \(\overline{PQ}\):$$\vec m=\frac12\cdot\left(\vec p+\vec q\right)=\frac12\cdot\begin{pmatrix}1+3\\4-4\\6-2\end{pmatrix}=\frac12\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$$
Die gesuchte Ebene \(E\) muss durch diesen Punkt \(M(2|0|2)\) gehen. Damit haben wir schon mal einen Punkt, an dem wir die gesuchte Ebene befestigen können. Außerdem ist der Punkt \(M(2|0|2)\) derjenige Punkt in der Ebene \(E\) mit dem kürzesten Abstand zu \(P\) und \(Q\).
Die Orientierung der Ebene ergibt sich daraus, dass die Strecke \(\overline{PQ}\) auf ihr senkrecht stehen muss. Insbesondere muss also der Vektor \(\overrightarrow{PQ}\) auf der Ebene senkrecht stehen. Damit kennen einen Normalenvektor \(\vec n\) der gesuchten Ebene:$$\vec n=\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\left(\begin{array}{r}3-1\\-4-4\\-2-6\end{array}\right)=\begin{pmatrix}2\\-8\\-8\end{pmatrix}$$
Alle Ortsvektoren \((x;y;z)\in\mathbb R^3\), die vom Koordinatenursprung zur gesuchten Ebene führen, müssen denselben Abstand (also dieselbe Projektion) auf diesen Normalenvektor \(\vec n\) haben, wie der Ortsvektor zum Mittelpunkt \(M\):$$\vec n\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\vec n\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$$
Das führt auf die Koordinatengleichng:$$2\cdot x-8\cdot y-8\cdot z=2\cdot 2-8\cdot0-8\cdot2=-12$$$$x-4y-4z=-6$$
