Schwerpunkt bestimmen (Physik)

Question

Aufgabe:

Bestimme den Schwerpunkt der von den Kurven

\( ay = x^2 \) , \( x + y = 2a \) (für \( a > 0 \))

berandeten Scheibe mit der konstanten Massendichte \( \rho \).

Hinweis: Der Schwerpunkt einer ebenen Scheibe \( \Omega\) mit der Massendichte \( \rho(x, y) \) ergibt sich aus den Integralen:

\(x_{s} = \frac{1}{M} \iint_\Omega \rho \cdot x \, d(x, y), \quad y_s \)

\(= \frac{1}{M} \iint_\Omega \rho \cdot y \, d(x, y)\)

, \(M = \iint_\Omega \rho \, d(x, y)\)

Problem/Ansatz:

Ich habe etwas Probleme damit wie genau ich diese Frage verstehen bzw. berechnen soll bezüglich des Schwerpunkes.

Ich habe manchmal Probleme damit integral Grenzen zu erkennen und hier weiß ich nicht wie genau ich sie hier berechnen soll.

Soll ich da einfach nur \(a_{y}\) gleichstellen und es gleich 0 stellen?

Soweit ich es verstanden habe soll man \(M\) berechnen aber ich weiß halt gar nicht wie ich anfangen soll mit den formeln

Answer 1

Aloha :)

Ich würde zunächst die Fläche \(\Omega\) parametrisieren.$$\Omega=\{(x;y)\in\mathbb R^2\;\big|\;ay=x^2\;\land\;x+y=2a\;\land\;a>0\}$$Dazu betrachte die beiden Funktionen:$$y_1(x)=\frac{x^2}{a}\quad;\quad y_2(x)=2a-x$$Sie haben 2 gemeinsame Schnittpunkte bei \(x=-2a\) und bei \(x=a\), denn:$$y_1(x)=y_2(x)\implies\frac{x^2}{a}=2a-x\implies x^2+ax-2a^2=0\implies(x+2a)(x-a)=0$$Daher ist \(x\in[-2a;a]\).

Wegen \(y_1(0)=0<2a=y_2(0)\) verläuft der Graph von \(y_1(x)\) zwischen diesen Schnittpunkten unterhalb des Graphen von \(y_2(x)\). Für festgehaltenes \(x\in[-2a;a]\) gilt daher \(\frac{x^2}{a}\le y\le2a-x\).

Damit haben wir einen Ortsvektor \(\vec r\) gefunden, der alle Punkte von \(\Omega\) abtastet:$$\vec r=\binom{x}{y}\quad;\quad x\in[-2a;a]\quad;\quad y\in\left[\frac{x^2}{a}\,;\,2a-x\right]$$

Die Masse \(M\) der Fläche ist daher:$$M=\int\limits_{x=-2a}^a\;\int\limits_{y=\frac{x^2}{a}}^{2a-x}\rho\,dx\,dy=\rho\int\limits_{x=-2a}^a\left[y\right]_{y=\frac{x^2}{a}}^{2a-x}\,dx=\rho\int\limits_{x=-2a}^a\left(2a-x-\frac{x^2}{a}\right)dx$$$$\phantom M=\rho\left[2ax-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3a}\right]_{x=-2a}^a=\rho\left(\frac76a^2+\frac{10}{3}a^2\right)=\frac{9a^2\,\rho}{2}$$

Der Schwerpunkt der Fläche ist daher:$$\vec m=\frac{1}{M}\int\limits_{x=-2a}^a\;\int\limits_{y=\frac{x^2}{a}}^{2a-x}\rho\cdot\binom{x}{y}\,dx\,dy=\frac{\rho}{\frac{9a^2\,\rho}{2}}\int\limits_{x=-2a}^a\left[\binom{xy}{\frac{y^2}{2}}\right]_{y=\frac{x^2}{a}}^{2a-x}dx$$$$\phantom{\vec m}=\frac{2}{9a^2}\int\limits_{x=-2a}^a\binom{2ax-x^2-\frac{x^3}{a}}{\frac{(2a-x)^2}{2}-\frac{x^4}{2a^2}}dx=\frac{2}{9a^2}\cdot\binom{-\frac{9a^3}{4}}{\frac{36a^3}{5}}=\binom{-\frac a2}{\frac85a}$$

Der Schwerpunkt der Fläche ist also:\(\quad M\left(-\frac a2\,\big|\,\frac{8a}{5}\right)\)

~plot~ x^2/2 ; 4-x ; {-1|16/5} ; [[-5|5|0|9]] ~plot~

Comments

Woah! Vielen Dank!

Ich hatte wohl kleine Fehlern gehabt in meiner Rechnung haha.

Ist jetzt auf jedenfall verständlicher ^^

Answer 2

Hast Du das Gebiet skizziert? Standardvorgehen bei solchen Aufgaben. Dann siehst Du sofort die Grenzen für x und die für y. Die beiden Integrale sollten dann kein Problem mehr sein.

Ich komme damit auf \(M=\frac92 a^2\rho\).

Korrigiert, dank an Werner-Salomon.

Comments

Ich komme damit auf \(M=\frac13(5a+1)\sqrt{8a+1}\)

Oh! ich komme auf \(M=\frac{9}{2}a^2 \rho\). Und außerdem bin ich der Meinung, dass unabhängig von den Integralen hier in jeden Fall $$M \propto a^2$$gelten muss.

---

Der Faktor \(\rho\) fehlte natürlich, den Rest rechne ich nochmal nach....

Ja, meine erste Version war für \(x^2\), nicht \(\frac{x^2}a\), so wird die Rechnung auch viel einfacher, danke.

Answer 3

Hallo

was du mit ay gleichstellen meinst entgeht mir. Natürlich musst du für die Grenzen die 2 Schnittpunkte bestimmen, wenn du dann die Skizze ansiehst sind die grenzen des Gebietes unter der Geraden ja wohl offensichtlich. fang mal an und wir korrigieren wenn nötig .

Du sollst nicht nur M bestimmen sondern dann auch x_s und y_s also die Koordinaten des Schwerpunktes. Ind nudgers Formel fehlt die Fächendichte ρ

Gruß lul

Comments

Also ich habe wie folgt gerechnet:

Ich habe erstmal die Grenzen bestimmt...

\(\frac{x^2}{a} = 2a - x\)

<=> \(x^2 + ax - 2a^2 = 0\)

\(x_1 = a, \) und \(x_2 = -2a\)

Und ich habe \(ay= x^{2}\) umgestellt nach \(y = \frac{x^{2}}{a}\)

Danach habe ich versucht die Masse \( M \) zu bestimmen und die Grenzen eingesetzt.

\(M = \rho \int_{-2a}^{a} \int_{\frac{x^2}{a}}^{2a - x} dy \, dx\)

Also habe ich weiter gerechnet

\(M = \rho \int_{-2a}^{a} \left( 2a - x - \frac{x^2}{a} \right) dx\)

Durch das integrieren habe ich das Ergebnis

<=> \(M\)=\(\rho \frac{9a^2}{2}\) herausbekommen.

Dann habe ich versucht \(x_s\) und \(y_s\) zu bestimmen.

\(x_s = \frac{1}{M} \rho \int_{-2a}^{a} \int_{\frac{x^2}{a}}^{2a - x} x \, dy \, dx\)

Da \( \rho \) ja konstant ist, kürzt es sich heraus.

\(x_s = \frac{1}{M} \int_{-2a}^{a} x \left( 2a - x - \frac{x^2}{a} \right) dx\)

<=> \(y_s = \frac{1}{M} \rho \int_{-2a}^{a} \int_{\frac{x^2}{a}}^{2a - x} y \, dy \, dx\)

Für das innere Integral :

\(\int_{\frac{x^2}{a}}^{2a - x} y \, dy = \frac{(2a - x)^2}{2} - \frac{\left( \frac{x^2}{a} \right)^2}{2} = \frac{(2a - x)^2}{2} - \frac{x^4}{2a^2}\)

äußere Integral:

\(y_s = \frac{1}{M} \rho \int_{-2a}^{a} \left( \frac{(2a - x)^2}{2} - \frac{x^4}{2a^2} \right) dx\)

Als ich die integrale gerechnet habe bekam ich als Ergebnisse

\(x_s = 0, \quad y_s = \frac{3a}{5}\)

Ist mein Vorgehen richtig gewesen? Bzw habe ich da was missverstanden?