Wie Zeichne ich Potenzfunktionen genau auf?

Question

Aufgabe:

Zeichne die Graphen der Potenzfunktionen f(x)=-0,4x³ und g(x)=-0,3x⁴ in das Koordinatensystem.

Problem/Ansatz:

Klar ist mir, dass sich der Graph mit steigendem Exponenten länger an der x-Achse „zieht“ und gestreckter verläuft. Ich weiß auch dass man den Punkt P(1/a) und Q(-1/a) bzw. bei ungeradem Exponenten Q(-1/-a) hat. Nun weiß ich beim Aufzeichnen aber nicht, wie sich der Graph strecken soll. Abgesehen davon, dass sich die Graphen im jeweiligen Quadranten irgendwann schneiden und der mit dem höheren Exponenten näher an die y-Achse verläuft, ist solch eine Darstellung doch etwas grob oder nicht? Kann man die Graphen irgendwie genauer aufzeichnen, ohne jeden Koordinaten, wenn man z.B. keinen Taschenrechner hat, auszurechnen? Ich bin mir zudem nicht schlüssig was das Geschehen an der x-Achse angeht. Weiß man, wie lang sich der Graph dort „zieht“ oder geht es einfach nur drum zu zeigen, welcher Graph sich länger „zieht“?

Jetzt schon einmal vielen Dank für Antworten, die wären echt hilfreich und geschätzt :)

Answer 1

Wertetabelle sollte ein Begriff sein oder nicht?

Und die Werte kannst du zur Not auch im Kopf berechnen und du brauchst auch nicht für jeden ganzzahligen Wert den Funktionswert bestimmen.

Comments

Das stimmt, mir ging es allerdings eher um Werte wie Dezimalzahlen, die man ja nicht immer einfach schnell berechnen kann.

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Du brauchst doch keine Dezimalzahlen einsetzen. Ganze Zahlen reichen doch völlig. Und hier würde es langen sogar das Ergebnis auch auf ganze Zahlen zu runden. Folgende Rechnungen sind sehr leicht im Kopf zu berechnen.

f(x) = - 0.4·x^3
f(1) = - 0.4·1 = - 0.4
f(2) = - 0.4·8 = - 3.2
f(3) = - 0.4·27 = - 10.8
f(4) = - 0.4·64 = - 25.6

Und wenn du die Symmetrie der Funktion kennst ,kannst du dir das Rechnen für die negativen ganzen Zahlen auch sparen.

Answer 2

Hallo

Zu Hause kannst du ja um die Fragen zu klären mit geogebra oder hier dem PoltluxPlotter das erst mal ansehen.  x=0, ± 1 und ±2 auszurechnen kann man auch leicht und hat damit schon einen guten Verlauf. Was du mit "zieht" meinst ist mir nicht klar, aber dass nach dem Anfang also nach Schnittpunkt, der x^4 Graph steiler als der x^3 Graph ist sollt man sehen , dass sich die Graphen bei x=0 und x=4/3 schneiden ist auch ohne TR leicht zu sehen .

Gruß lul

Comments

Das ist mit "ziehen" gemeint:

rot: \(x^3\), blau: \(x^{31}\).

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Genau das meine ich! Ich hätte es wahrscheinlich besser formulieren können indem ich gesagt hätte, dass sich die Graphen einfach länger der x-Achse annähern, aber vielen Dank für die Skizze, die veranschaulicht meine Frage viel besser!!

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Genau das meine ich! Ich hätte es wahrscheinlich besser formulieren können indem ich gesagt hätte, dass sich die Graphen einfach länger der x-Achse annähern, aber vielen Dank für die Skizze, die veranschaulicht meine Frage viel besser!!

Geht es um das zeichnen oder um eine rein qualitative Betrachtung und beachte das bei x^3 und x^31 keine weiteren Vorfaktoren dabei sind.

Für x^n gilt ja, dass die Punkte (0 | 0) und (1 | 1) immer auf den Funktionen liegen.

Je höher n, desto näher verläuft der Graph im Intervall [0 ; 1] an der x-Achse und desto steiler verläuft der Graph für x > 1.

Der Graph von a·x^n geht aber durch den Punkt (1 | a) und betrachtet man zwei Potenzfunktionen mit unterschiedlichen Vorfaktoren, dann ist der Schnittpunkt nicht so ohne weiteres ersichtlich.

Skizziert man mal obige beide Graphen in einem anderen Maßstab ergibt es sich so

~plot~ -0,4x^3;-0.3x^4;[[-2|2|-2|2]] ~plot~

Dort kannst du den Schnittpunkt natürlich abschätzen. Aber die Frage ist halt, worum es dir jetzt genau geht.

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Tatsächlich war es nicht der Schnittpunkt selbst um den es mir ging, schließlich kann man ihn ja ganz einfach abschätzen. Mir ging es eher darum, wie steil man den Graphen ohne Koordinaten aufzeichnen sollte, wenn man jetzt angenommen keinen zweiten Graphen als Richtwert hat. Man hat letztendlich nichts zum Vergleich um zu schauen, wie nah der Graph an der x-Achse verlaufen soll und wie stark man ihn stauchen bzw. strecken soll außer den Punkt P(1|1) der Normalfunktion.

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In der Schule lernst du grundsätzlich den Verlauf der Funktionen

f(x) = x^n

mit dem Vorfaktor 1. Ändert sich der Vorfaktor und wird die Funktion damit in Richtung der x-/y-Achse gestreckt und gestaucht ist das ganze viel problematischer.

Aber du kannst sagen, je höher der Exponent ist, desto näher verlauft die Funktion im Intervall von 0 bis zur Schnittstelle an der x-Achse.

Oder wie du sagen würdest, desto länger zieht sich die Funktion entlang der x-Achse.

Answer 3

Ganz einfach: Geogebra

Wenn du es unbedingt (warum auch immer) selbst machen möchtest, berechne paar Punkte (x,y) aus dem Graph der beiden Funktionen.

Comments

Klar, weil du in der Klausur einfach so Geogebra nutzen darfst. Ansonsten wiederholst du mal wieder nur das, was schon gesagt wurde.

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wenn man z.B. keinen Taschenrechner hat

Klasse Idee.

Wenn man keinen Taschenrechner hat, nimmt man einfach Geogebra, Wolframalpha etc.

Warum kommen die (dummen?) Fragesteller nicht selber auf diese (schlaue?) Idee.

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Was meckerst du rum? Das war eine einzigartige Antwort von Txman:

Er hat sie ausnahmsweise nicht nachträglich editieren müssen.
Auch kleine Fortschritte soll man würdigen.

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Wo ist eigentlich überhaupt der Sinn, das Schüler eigenhändig Graphen von Funktionen zeichnen müssen?

Ein Mathematiker kann Strukturen analysieren und beweisen, ohne das er sie sieht!

Spaß-Aufgabe: Zeichne mal den Graphen der Funktion f(x) := sin(1/x), x in R, ganz genau…

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Gegenfrage: Wo ist eigentlich der Sinn, die Grundrechenarten zu beherrschen? Gibt doch Taschenrechner.

Das hat etwas mit Didaktik zu tun. Und den Effekt, Dinge selbstständig zu tun und daraus etwas zu lernen, sollte man nicht unterschätzen.

Ein Mathematiker kann Strukturen analysieren und beweisen, ohne das er sie sieht!

Wir reden hier aber immer noch von Schülern und nicht von Mathematikern.

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Das kann man nicht miteinander vergleichen. Bischen Rechnen können, sollte jeder (Mathematiker aber auch Nicht-Mathematiker). Rechnen ist auch was anderes als Mathematik und hat eigentlich sehr wenig damit zu tun. Sogar ein Jurist, der i.A. NICHTS mit Mathematik zu tun hat, muss etwas rechnen können, um im Alltag klarzukommen.

Das mit del Graphen zeichnen können, ist relativ unnötig und uninteressant. Was bringt mir das jetzt, wenn ich weiss wie der Graph der Funktion 0.6x^4 aussieht?? Ich kann auch ohne den Graph mit der Funktion rechnen und co…