Beschränktheit von Menge zeigen

Question

Sei (X,d) ein metrischer Raum und (p_n) eine Cauchyfolge mit Glieder in X. Zz: die Menge {p1, p2,....} ist beschränkt

Ich hätte es so bewiesen: Sei ε = 1, also laut definition d(p_n, p_m) < 1. D.h, dass alle Folgenglieder p_n, p_m für m,n>= N innerhalb eines Radiuses von 1 zueinander liegen.

Nun betrachten wir die Menge {p1,p2, ..., p_N, p_N+1,...}. Da die Folgenglieder p_n ab dem Index N dicht beinander liegen, sind sie in einem Bereich, der durch einen Radius um ein bestimmtes Glied (z.B p_N) eingeschlossen werden können..

Man definiere nun R:=max{d(p_1, p_N, d(p_2, p_N), ..., d(p_N, p_N),1}. Dann ist R eine Schranke für die Abstande aller Glieder p_n zur festen Referen p_N. Da d(p_m, p_N)<= R für alle m>=N gilt und die ersten N Glieder ebenfalls innerhalb dieser Schranke liegen ist die Menge {p1, p2...} beschränkt.

Ist das so korrekt?

Answer 1

Sei ε = 1

... und \(N\in \mathbb{N}\), so dass ...

\(d(p_n, p_m) < 1\)

... für alle \(n,m\geq N\).

Und schon hast du für zweierlei gesorgt:

1. der Leser ist nicht mehr im unklaren, woher \(n\) und \(m\) kommen.

2. Der Satz "D.h, dass alle Folgenglieder p_n, p_m für m,n>= N innerhalb eines Radiuses von 1 zueinander liegen." ist jetzt nicht mehr notwendig.

Da die Folgenglieder p_n ab dem Index N dicht beinander liegen, sind sie in einem Bereich, der durch einen Radius um ein bestimmtes Glied (z.B p_N) eingeschlossen werden können..

Das sagtest du bereits.

Man definiere nun R:=max{d(p_1, p_N), d(p_2, p_N), ..., d(p_N, p_N),1}.

Sehr schön. Ich habe aber die schließende Klammer hineingemogelt, die du vergessen hast.

Dann ist R eine Schranke für die Abstande aller Glieder p_n zur festen Referen p_N. Da d(p_m, p_N)<= R für alle m>=N gilt und die ersten N Glieder ebenfalls innerhalb dieser Schranke liegen ist die Menge {p1, p2...} beschränkt.

Oder einfacher formuliert: Dann ist \(d(p_n, p_N) \leq R\) für alle \(n\in \mathbb{N}\).

Insgesamt ist dein Beweis nachvollziehbar und von der Idee her richtig. Die Formulierung ist aber noch nicht ganz ausgereift.

Comments

Ok danke für die Kritik bzw. Verbesserungsvorschläge bzgl der Formulierung. Wird überarbeitet

Answer 2

Von der Idee her gut, die Ausführung hat ein paar Mängel, insb. was die logische Abfolge und die Begriffe betrifft.

"Sei ε = 1, also laut definition... ": Korrekt ist: "Sei ε = 1, dann gibt es laut Vor. ein N mit...".

"...innerhalb eines Radiuses von 1 zueinander liegen." Das sagt gar nichts, solange Du nicht den Mittelpunkt dazu nennst (ohne den hat "Radius" keine Bedeutung).

"Nun betrachten wir die Menge {p1,p2, ..., p_N, p_N+1,...}" ist keine neue Menge, sondern die aus der zu beweisenden Aussage.

Korrekt: Dann gilt \(d(p_n,p_N)\le 1\) für alle \(n\ge N\).

Def. von R ist in Ordnung (bis auf fehlende Klammer).

"ebenfalls innerhalb dieser Schranke liegen" innerhalb einer Schranke kann nichts liegen, eine Schranke ist eine Zahl. Korrekt wäre "dann gilt \(d(p_n,p_N)\le R\) für alle \(n\in\{1,...,N\}\) und damit ingesamt \(d(p_n,p_N)\le R\) für alle \(n\). Also ist die Menge der Folgenglieder beschränkt.