Bestimmen Sie die Umkehrabbildung (a \circ \phi)^{-1} .

Question

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\( a(\phi) \)
3.14 In einem dynamischen System (siehe Abbildung) gilt folgender Zusammenhang zwischen dem Winkel \( \phi \) und der Zeit \( t \) :
\( \phi: \mathbb{R}_{0}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \frac{\pi}{2} e^{-\lambda t} . \)

Dabei ist \( \lambda>0 \) ein konstanter Parameter, der von den Systemeigenschaften (Feder-, Dämpferkonstante, Punktmasse) abhängt. Weiters ist der Abstand der Punktmasse zur Ausgangslage für \( \phi \geq 0 \) gegeben durch
\( a(\phi)=\sqrt{2} L \sqrt{1-\sin \phi} . \)

Dynamisches System
(a) Geben Sie geeignete Definitions- und Bildmengen an, sodass \( \phi \) und \( a \) bijektiv sind. Ist die Hintereinanderausführung \( a \circ \phi \) wohldefiniert?
(b) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung \( (a \circ \phi)^{-1} \).

Aufgabe:

Answer 1

Für t≥0 ist die Bildmenge von Φ das Intervall ] 0 ; π/2 ]

und dieses ist die geeignete Def.menge von a.

Dann ist sin(Φ(t)) ∈ ]0 ; 1 ] und somit der

Radikand bei √(1 - sin(Φ(t)) )  immer positiv, also

alles wohldefiniert. Die Wurzel ist damit  ∈ [0 ; 1 [

und der Bildbereich von a also [ 0 ;  L√2 [.

Für die Umkehrung \( (a \circ \phi)^{-1} \) würde ich so vorgehen:

\( a(\phi)=\sqrt{2} L \sqrt{1-\sin \phi} \)    also

\( a=a(t)=\sqrt{2} L \sqrt{1-\sin (\frac{\pi}{2} e^{-\lambda t} )}  \)

\( \frac{a}{\sqrt{2} L} = \sqrt{1-\sin (\frac{\pi}{2} e^{-\lambda t} )}  \)

Da nichts negativ ist, kann man quadrieren :

\( \frac{a^2}{2L^2} =1-\sin (\frac{\pi}{2} e^{-\lambda t} ) \)

\( \sin (\frac{\pi}{2} e^{-\lambda t} ) = 1 - \frac{a^2}{2L^2}\)
\( \frac{\pi}{2} e^{-\lambda t}  = \arcsin(1 - \frac{a^2}{2L^2} ) \)
\( e^{-\lambda t}  = \frac{2}{\pi} \cdot \arcsin(1 - \frac{a^2}{2L^2} ) \)
\( -\lambda t = \ln( \frac{2}{\pi} \cdot \arcsin(1 - \frac{a^2}{2L^2} )) \)
\(  t =\frac{-1}{\lambda} \cdot \ln( \frac{2}{\pi} \cdot \arcsin(1 - \frac{a^2}{2L^2} )) \)