Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Spieler A?

Question

Aufgabe

Zwei Spieler A, B würfeln in der Reihenfolge ABABAB . . . . Wer die erste Sechs würfelt
gewinnt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Spieler A? Und wenn die Reihenfolge
BAABABAB . . . ist?

Problem/Ansatz:

Wahrscheinlichkeit

Answer 1

Hier hilft in beiden Fällen ein Baumdiagramm. Unterscheide in jeder Stufe zwischen "6" und "keine 6" und beachte, wer am Zug ist. Die Pfade enden immer dann, wenn die 6 gewürfelt wurde.

Tipp: Zur Berechnung hilft die geometrische Reihe.

Comments

Ja alles schön und gut. Ich habe aber wenig Kenntnis darüber. Darum meine Bitte um Hilfe von Ihnen

Ich wäre sehr froh, when ich eine richtige Lösung bekämme, die ich dann selber später nachvolziehen kann

Vielen Dank im Voraus

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Siehe deine andere Frage. Vollständige Lösungswege wird es von mir nicht geben. Du kannst gerne sagen, wo es genau hapert.

Answer 2

In welchen Fällen gewinnt A?

Fall 1: A würfelt sofort eine 6.

Fall 2: A hat keine 6, B hat keine 6, dann hat A eine 6.

Fall 3: A hat keine 6, B hat keine 6, A hat wieder keine 6, B hat wieder keine 6, dann hat A eine 6.

Fall 4: A hat keine 6, B hat keine 6, A hat wieder keine 6, B hat wieder keine 6, A hat wieder keine 6, B hat wieder keine 6, dann hat A eine 6.

usw.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der ersten 4 Fälle und setze weiter "bis unendlich" fort.

Bilde dann die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Fälle.

Comments

setze weiter "bis unendlich" fort

lässt sich vermeiden, wenn man das Baumdiagramm wie folgt zeichnet :

Das Ergebnis von Aufgabenteil a) kann dann auch leicht für Teil b) genutzt werden.

Answer 3

Zwei Spieler A, B würfeln in der Reihenfolge ABABAB... . Wer die erste Sechs würfelt gewinnt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Spieler A?

(∑(k = 0 bis ∞)((5/6·5/6)^k))·1/6 = 6/11 ≈ 0.5455 = 54.55%

Und wenn die Reihenfolge BAABABAB... ist?

5/6·1/6 + (∑(k = 1 bis ∞)((5/6·5/6)^k))·1/6 = 205/396 ≈ 0.5177 = 51.77%

Comments

Mittels Markovkette ergibt sich

a)

p = 1/6 + 5/6·5/6·p → p = 6/11

b)

p = 5/6·1/6 + 5/6·5/6·6/11 = 205/396

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@Mathecoach:
Müsste bei BABA... die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, nicht dieselbe sein, dass bei ABAB... Spieler B gewinnt?
Dann wäre dies aber einfach 5/11, oder übersehe ich hier etwas?

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BAABABAB...

Ob das gewollt ist oder nicht, bleibt zu ergründen.

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Zusatzfrage : kann man eine Abfolge von As und Bs angeben (damit ist nicht gemeint : nachweisen, dass es eine gibt), bei der A und B gleiche Gewinnchance haben ?

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kann man eine Abfolge von As und Bs angeben (damit ist nicht gemeint : nachweisen, dass es eine gibt), bei der A und B gleiche Gewinnchance haben ?

Du meinst sowas wie

A BBB...

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Müsste bei BABA... die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, nicht dieselbe sein, dass bei ABAB... Spieler B gewinnt?

Wenn es denn BABA... wäre dann sicherlich. Aber aus gutem Grund wurde genau danach eben nicht gefragt.

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Du meinst sowas wie   A BBB...

Ja, und Angabe der Folge 1-3- ...
So etwas wie "A würfelt solange, bis seine Wahrsch. größer als 1/2 ist, dann würfelt B solange, bis Bs Wahrsch. für Gewinn größer als 1/2 ist, dann ..." sehe ich lediglich als Existenzbeweis, hingegen würde ich so etwas wie "A ist dran, wenn die Dezimalziffer von π gerade ist, sonst B" als Lösung akzeptieren.