Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der beginnende Spieler A gewinnt

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthält m weiße und n − m schwarze Kugeln. Zwei Spieler A und B greifen nacheinander
beliebig eine Kugel aus der Urne heraus und legen diese vor der Entnahme der nächsten Kugel in die
Urne zurück. Der Spieler, dem es zuerst gelingt, eine weiße Kugel zu ziehen, hat das Spiel gewonnen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der beginnende Spieler A gewinnt.

Problem/Ansatz:

Ich kam jetzt auf folgende Formel:

\( \frac{m}{n} \)+\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(\frac{n-m}{n})^{2k}*\frac{m}{n}} \)

Nur weiß ich nicht ob diese Formel sinn macht, könnte da jemand mich bestätigen/widerlegen?

Answer 1

Du müßtest in jedem Fall durch n teilen, nicht durch m. Aber abgesehen davon - wie kommst du auf 2k? Und wieso +m/n?

Wenn man die Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle schreibt, dann hat man doch:

x(Anzahl Versuche A)          p

1                                          m/n

2                                          (n-m)/n*m/n

3                                          ((n-m)/n)²*m/n

4                                          ((n-m)/n)³*m/n.....und dann B.

Comments

Sind aber A und B nicht abwechselt dran? Mit dem 2k wollte ich bewirken, dass man sozusagen immer erst eine gerade anzahl an schwarze bälle zieht, denn dann wäre B dran, mit m/n multipliziert bin ich wieder bei A...

Und +m/n da A im ersten Zug gewinnen kann

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das +m/n brauchst du nicht, du hast ja k von 0 an....und ()^0=1, da wäre also das erste Summenglied m/n. Mit "dann B" meinte ich, daß man es leichter hat, wenn man B zuerst getrennt ermittelt, und dann erst "einsortiert" - aber du kannst sie natürlich auch gleich abwechselnd eintragen......aber immer aus Sicht des A.

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Stimmt ja, ist mir gar nicht aufgefallen, wenn ich jetzt also m/n im ersten term entferne, wäre alles so richtig?

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Dann müßte es stimmen....

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Vielen dank für deine Hilfe