Begründe: Verhalten für x gegen +/- unendlich

Question

Aufgabe: 4 3 2
Sei f eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e mit a ≠ 0. Begründe:

(1) Für a > 0 gilt: f(x) = lim x→∞ f(x) = lim x→-∞ f(x)=∞ (2) Für a < 0 gilt: lim x→∞ f(x) = lim x→-∞ f(x) =∞ –

f(x) = x^3 + x^2 – 6x

Problem/Ansatz

Ich habe wirklich keine Ahnung wie man so etwas löst. Es steht auch im Mathematik Verstehen 7 auf der Seite 60.

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steht auch im Mathematik Verstehen 7 auf der Seite 60.

Ist das ein Lehrmittel für das 7. Schuljahr? Oder für welches?

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Man braucht hier nur die höchste Potenz betrachten, die gegenüber den andere gewinnt.

ax^4 ist immer positiv, für alle a >0, f(x) = f(-x)

Für a <0 werden alle Werte negativ.

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Es steht auch im Mathematik Verstehen 7 auf der Seite 60.

Was steht auf der Seite 60? Was heißt "auch"?

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Es steht auch im Mathematik Verstehen 7 auf der Seite 60.

Dort steht über der gestellten Aufgabe das Gleiche für eine Funktion dritten Grades. Zumindest für einen Fall steht dort eine Begründung. Das sollte man doch übertragen können. Weiterhin sind da die Tipps von nudger hilfreich.

Ist das ein Lehrmittel für das 7. Schuljahr? Oder für welches?

Eher für die Einführungsphase, 11. Klasse, was auch immer. Die zählen ab Klasse 5.

Answer 1

Ein guter Anfang zum "Mathematik verstehen" ist stets eine Skizze. Skizziere also den Graph der Funktion (für irgendwelche a,b,c,d) und schau, ob/dass Du daraus die Grenzwerte ablesen kannst. Das ist ein erster Schritt zur Begründung (vielleicht reicht das auch schon).

Comments

das Problem ist das wir es höchstwahrscheinlich für die Schularbeit rechnerisch Beweisen müssen

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Ok, hast Du denn die Skizze gemacht und die Grenzwerte dort ablesen können? "Begründen" ist für mich auch etwas anderes als "beweisen".

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ich kann sehen das x richtung minus unendlich fällt und richtung plus unendlich steigt

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In welchem Fall? Bist Du bei (1), (2), oder \(f(x) = x^3 + x^2 – 6x\)? Womit willst Du anfangen? Skizziere mehrere versch. Beispiele.

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Übrigens steht im Buch ja auch eine Lösung dazu. Verstehst Du die?

Answer 2

Verbessert nach Kommentar:

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

f(x) = x^4·(a + b/x + c/x^2 + d/x^3 + e/x^4)

Nun gilt für a ≠ 0

lim (x → ± ∞) x^4 = ∞

lim (x → ± ∞) a + b/x + c/x^2 + d/x^3 + e/x^4 = a

Das Vorzeichen vom Produkt aus a und ∞ hängt also vom Vorzeichen von a ab und geht damit gegen + oder - Unendlich.

Comments

lim (x → ±∞) f(x) = x⁴·(a + 0)

Das halte ich für äußerst fragwürdig.

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Die Zeile lim (x → ±∞) f(x) = x^4·(a + 0) = a·x^4 kann man so nicht stehen lassen.

Links steht (je nach Wert von a) \(+\infty\) oder \(-\infty\) rechts steht (wenn x eine reelle Zahl sein soll, was unklar bleibt) eine reelle Zahl.

Abgesehen von der mathematischen Falschheit halte ich das auch für didaktisch nicht geschickt. Es suggeriert, dass falsche "Argumentationen" wie

$$\lim_{x\to\infty}1=\lim_{x\to\infty}x\cdot\frac{1}{x}=x\cdot 0=0$$

möglich seien.

Deine Idee lässt sich aber retten: Beispielsweise im Fall \(a>0\) folgt aus

$$\lim_{x\to\infty} a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x^3}+\frac{e}{x^4}=a$$ und $$\lim_{x\to\infty}x^4=+\infty$$ wie gewünscht $$\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$$.

(Wobei ich die gesamte Aufgabe für didaktisch schwierig halte, weil in der Schule der Grenzwertbegriff üblicherweise gar nicht definiert wird geschweige denn Grenzwertsätze zur Verfügung stehen.)

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Der Anfang ist die Lösung aus dem Buch, die FS also bereits kennt. Danach wird's wirklich äußerst fragwürdig in mc's Lösung.

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Warum? Das andere in der Klammer geht gegen 0 und spielt für das Vorzeichen keine Rolle.

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Sicherheitshalber noch einmal die Erklärung:

In der Mathematik bedeutet das Gleichheitszeichen \(=\) üblicherweise, dass links und rechts davon das gleiche Objekt steht.

Bei lim (x → ±∞) f(x) = x^4·(a + 0) steht im Falle \(a>0\) links der Wert \(+\infty\) und rechts (wenn denn \(x\) eine reelle Zahl sein soll) eine reelle Zahl.

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Ach. Du meinst, das müsste wie folgt dort stehen:

lim (x → ± ∞) f(x) = (± ∞)^4·(a + 0) = a·∞

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Grausig, was mc hier präsentiert. Das beste, was man machen kann, steht in tobits Kommentar. Und so steht es auch in der Lösung im Buch. Die gesamte Antwort ist überflüssig, stiftet nur Verwirrung.

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Die Schreibweise

lim (x → ± ∞) f(x) = (± ∞)^4·(a + 0) = a·∞

setzt voraus, dass man u.a. \(a\cdot\infty:=\infty\) für \(a>0\) definiert, was man meiner Erfahrung nach üblicherweise außerhalb der Maß- und Integrationstheorie NICHT tut.

Setzt man nun diese und ähnliche Definitionen zum Rechnen mit \(\infty\) als getroffen voraus, ist die gelbe Gleichungskette eine wahre Aussage.

Dies heißt allerdings noch lange nicht, dass sie korrekt begründet wurde.

Jenseits der Frage der Schreibweise ist entscheidend, dass man sich im Klaren ist, dass man u.a. folgenden Grenzwertsatz anwendet: Im Falle \(\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}h(x)=a\) für Funktionen \(g,h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) und eine reelle Zahl \(a>0\) gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)\cdot h(x)=\infty\).

(In der Schule muss man diesen Grenzwertsatz wohl mangels präziser Definitionen naiv ohne Beweis als gültig annehmen.)