Verhalten von Funktionen für x gegen ∞. Bsp. f(x) = x^5 - 3x^2 + 3x

Question

Berechnen Sie die Grenzwerte lim_x->∞ und lim_x->-∞ für folgende Funktionen:

f(x) = x⁵ - 3x² + 3x

f(x) = 2x⁴ + 3x² - 16

f(x) = 1/3x³  - 2x² + 1/4x + 5

Answer 1

Entscheidet für das Verhalten im Unendlichen sind die höchsten Potenzen von x. Skizziere dir diese Funktionen in ein Koordinatensystem und überlege wie das Verhalten im Unendlichen ist.

f(x) = x⁵ - 3x² + 3x

lim (x -> -∞) f(x) = -∞
lim (x -> ∞) f(x) = ∞

f(x) = 2x⁴ + 3x² - 16

lim (x -> -∞) f(x) = ∞
lim (x -> ∞) f(x) = ∞

f(x) = 1/3x³  - 2x² + 1/4x + 5

lim (x -> -∞) f(x) = -∞
lim (x -> ∞) f(x) = ∞

Comments

Wie würden die Beweise bzw. Berechnungen dazu aussehen, bei

f(x) = x^5 - 3x^2 + 3x wäre es doch so:

lim (x->∞) = x⁵ (1- 3/x² + 3/x⁴) = ∞ (1 - 0 + 0) = + ∞

und lim (x-> -∞) = -∞ (1 + 0 - 0) = -∞ 

??

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Ja. Es lautet nur - 3/x^3 aber das macht nichts, da dieser Teil auch Null wird.

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Wie komme ich bei 2x⁴ + 3x² - 16 auf  lim (x -> -∞) f(x) = ∞ ?

Wie sieht die Rechnung dazu aus?

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Wie komme ich bei 2x⁴ + 3x² - 16 auf  lim (x -> -∞) f(x) = ∞ ?

der Mathecoach schrieb in seiner Antwort
Entscheidend für das Verhalten im Unendlichen sind die höchsten Potenzen von x.
2x⁴ + 3x² - 16
2*x^4
lim x −> - ∞ [ 2 * x^4 ] = ∞

Wenn du es als richtigen Beweis haben willst
2x⁴ + 3x² - 16
x^4 * ( 2 + 3/x^2 - 16/x^4 )
lim x −> - ∞ [ x^4 * ( 2 + 3/x^2 - 16/x^4 )]
lim x −> - ∞ [ x^4 * ( 2 + 0 - 0 ) ]
lim x −> - ∞ [ 2 * x^4 ] = ∞

Answer 2

x^5-3x²+3x  ------->  lim x--> ∞  f(x)  =± ∞  !

Comments

x⁵-3x²+3x  ------->  lim x--> ∞  f(x)  =± ∞  !
besser
x⁵-3x²+3x  ------->  lim x--> ± ∞  f(x)  =± ∞ 

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Alles Klar !

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x⁵-3x²+3x  ------->  lim x--> ± ∞  f(x)  =± ∞  

Das ist so geschrieben unklar. Geht es für x gegen plus unendlich gegen plus unendlich oder minus unendlich und was passiert für x gegen minus unendlich. Man sollte hier schon die Fälle trennen.

anders bei

lim (x --> ±∞) x^4 = + ∞

In dem Fall könnte man es ohne Fallentscheidungen stehen lassen.

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Ich gebe es so wieder wie von einem Lehrer im Internet vorgemacht.

x⁵-3x²+3x  ------->  lim x--> + ∞  f(x)  = + ∞ 
x⁵-3x²+3x  ------->  lim x--> - ∞  f(x)  = - ∞ 

Vereinfachend wurde geschrieben
x⁵-3x²+3x  ------->  lim x--> ± ∞  f(x)  = ± ∞  

Es gibt  auch den Fall
term  →  lim x--> + ∞  f(x)  = - ∞ 
term  →  lim x--> - ∞  f(x)  = + ∞  

Vereinfachend wurde geschrieben
Term  →  lim x--> ± ∞  f(x)  = (minus / Plus ) ∞  

Das Zeichen ( Minus oben / Plus unten ) gibt es allerdings als Sonderzeichen
nicht.