Berechnung aller Abbildungen von 2 Mengen

Question

Aufgabe:

Menge aller Abbildungen

Problem/Ansatz:

Seien A={1,2,3,4,5} und N={1,2,....,n}.

a) Ermittel die Anzahl aller Abbildungen A -> N

Anzahl = N^A = N^(120) ? 5!=120

b) Ermittel die Anzahl aller injektiven Abbildungen A-> N

Das bedeutet in meinen Augen das jedem Wert aus A genau einem Wert in N zugeordnet werden kann, aber ich weiß nicht wie ich es berechnen soll

Answer 1

Bei a) musst du die Mächtigkeiten der Mengen A und N benutzen:
\(|N|^{|A|} = n^5\)

Wie du für |A| auf 120 kommst, ist mir nicht klar.

Grundsätzlich kannst du dir das Szenario so vorstellen:

Wir betrachten 5-Tupel \((x_1,\ldots,x_5)\) bei denen wir jeden Platz mit Werten von 1 bis n belegen können. Für a) haben wir dann offensichtlich \(\color{blue}n^5\).

Bei b) müssen die \(x_1,\ldots,x_5\) paarweise verschieden sein. Wir wählen uns also 5 mögliche Werte aus \(\{1,\ldots,n\}\) aus:\(\color{blue}\binom n5\)

Jede Permutation dieser 5 Werte gibt eine mögliche injektive Abbildung: \(\color{blue}5!\)

Also insgesamt für b)

\(\color{blue}\binom n5\cdot 5!\)