Anzahl aller injektiven Abbildungen {1,...,n} --> {1,2,3}?

Question

Hi,

Sei n ∈ ℕ und A = {1,...,n}  B = {1,2,3}

Dann wieviele injektive Abbildungen A → B gibt es? Ich brauche auch die Zahl für n = 1,2,3,4

Die gleiche Aufgabe aber mit Anzahl surjektive Abbildungen habe ich schon mithilfe von Siebformel gelöst, aber was passiert wenn es nach injektive Abbildungen gefragt ist ?

:)

Answer 1

Sei n ∈ ℕ und A = {1,...,n}  B = {1,2,3}

Dann wieviele injektive Abbildungen A → B gibt es? Ich brauche auch die Zahl für n = 1,2,3,4

Die gleiche Aufgabe aber mit Anzahl surjektive Abbildungen habe ich schon mithilfe von Siebformel gelöst, aber was passiert wenn es nach injektive Abbildungen gefragt ist ?

n=1: Antwort 3. Rechnung unnötig

n=2: Antwort 3*2 = 6.

n=3: Antwort 3*2*1 = 6

n = 4: Antwort 0, da B nur 3 Elemente enthält, kommt mindestens ein Element von B zwei mal vor. Also ist keine injektive Abbildung möglich.

n=5: Antwort 0

n=6: Antwort 0

usw.

Comments

was für eine allgemeine Formel? Oder es ist einfach so, dass wenn n ≥ 4 ist, dann kommt immer 0 raus?

---

Hallo: Ich hatte das so begründet:

" B nur 3 Elemente enthält, kommt mindestens ein Element von B zwei mal vor. Also ist keine injektive Abbildung möglich. "

Da hatte ich vorausgesetzt, dass eine Abbildung jedem Element von A ein Element von B zuordnet. Wenn das nicht nötig ist, ändert sich die Rechnung. Ich schaue mal die Definition von Abbildung an. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)

Rechnen muss man somit ab n=4 nichts mehr.

Wenn du eine Formel haben möchtest für die Fälle, die ich ausgerechnet habe, gibt es hier eine:

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t#Anzahl_injektiver_Abbildungen

Die stimmt. Lernen würde ich sie aber nicht, da man sie mit Kenntnissen der Kombinatorik gar nicht braucht.

---

Alles klar, danke! Eine letzte Frage - ist es kompliziert alle bijektive Abbildungen auszurechnen, oder gibt es eifacher Methode, wie z.B die von Ihnen schon gezeigt?