Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punktes, an dem der Wagen die Strecke verlassen hat.

Question

Text erkannt:

Aufgabe 8:
Die Funktion f mit \( f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4} \mathrm{x}+3 \) (s. Bild) beschreibt im Modell die Mittellinie eines von oben betrachteten Ausschnitts einer Rennstrecke. Entlang der Geraden \( y=5 \) sind Strohballen zum Schutz der Fahrer aufgebaut. Bei Aquaplaning wird ein Rennwagen A geradlinig, tangential aus der Kurve getragen und landet im Punkt (0|5) in den Strohballen.
a) Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punktes, an dem der Wagen die Strecke verlassen hat.
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b) Berechnen Sie die Wegstrecke, die das Auto bis zu den Strohballen rutschend zurückgelegt hat, wenn 1 LE im Modell 20 Metern in der Realität entspricht.
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Aufgabe:

Comments

https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/tangenten/tangente-durch-fernpunkt

Answer 1

\( f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4} \mathrm{x}+3 \)

\( f'(x)=\frac{3}{8} x^{2}-\frac{1}{4} \)

P\((0|5)\)

\( \frac{y-5}{x-0}= \frac{3}{8} x^{2}-\frac{1}{4} \)

\( y= \frac{3}{8} x^{3}-\frac{1}{4}x +5\)

Schnitt mit  \( f(x)=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4} \mathrm{x}+3 \):

\(\frac{3}{8} x^{3}-\frac{1}{4}x +5=\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4} \mathrm{x}+3 \)

\(\frac{1}{4} x^{3}=-2 \)

\( x^{3}=-8\)

\(x=-2\)     \( f(-2)=-1+\frac{1}{2}+3=2,5 \)

Das Auto wird in B\((-2|2,5)\) herausgetragen.

Comments

Alles gut, aber x^3=-8 führt auf x=-2 !

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Danke dir für die den Hinweis auf den Flüchtigkeitsfehler!

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zu b)   Schau dir mal das Dreieck B A P an.

Answer 2

Wenn der Wagen die Strecke im Punkt A( x ; f(x) ) verlassen hat und bei P(0;5) auf den

Strohballen trifft, dann ist die Gerade durch A und P eine Tangente an den Graphen von f(x).

Diese Tangente hat dann also die Steigung f ' (x) und die Gerade AP hat die Steigung

\( m=\frac{f(x)-5}{x-0} \) und wegen m=f'(x) hast du die Gleichung

\(  \frac{f(x)-5}{x-0} =\frac{3}{8} x^2-\frac{1}{4} \)

<=>  \(  \frac{ (\frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4}x+3 )-5}{x-0} =\frac{3}{8} x^2-\frac{1}{4} \)

<=>  \(  \frac{ \frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4}x-2}{x} =\frac{3}{8} x^2-\frac{1}{4} \)

<=>  \(   \frac{1}{8} x^{3}-\frac{1}{4}x-2 =\frac{3}{8} x^3-\frac{1}{4}x \)

<=>  \(  -2 =\frac{2}{8} x^3 \)  <=>  \(  -8 = x^3 \)   <=>   x=-2

Also hat der Punkt A die Koordinaten ( -2 ; f(-2) ).