Geraden im Raum, Parameter bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme zwei verschiedene Geraden \( g \) und \( h \), so dass diese sich nur im Punkt \( \mathrm{S}(1|-4|-2) \) schneiden.

Die Geraden g und h,

\(g: \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c}9 \\ -10 \\ \square\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ \square\end{array}\right) \quad \) und

\(h: \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c}13 \\ \square \\ -5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\ \square \\ -1\end{array}\right) \quad \) mit \( r, s \in \mathbb{R} \)

schneiden sich in Punkt S.

Problem/Ansatz:

Ich komme wirklich nicht weiter. Ich habe versucht wie immer den Punkt S mit der Gerade gleichzusetzen und das LGS aufzustellen, aber hier funktioniert es irgendwie nicht.

Wie kann ich diese Aufgabe lösen?

Comments

Warum funktioniert es nicht?

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(1;-4;-2)=(9;-10;a) + r*(-4;3;b)
I. 1=9-4r

II. -4=-10+3r

III. -2=a+r*b

r=2
r in III.

-2=a+2b

Hier komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht wie ich a und b herausbekomme.

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r=2

Du musst nicht nach r lösen. Sondern nach dem, wo Kästchen stehen. Dein Titel "Parameter bestimmen" hat Dich vielleicht in die Irre geführt. Es wird in der Aufgabe nicht verlangt, die Parameter zu bestimmen.

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Trotzdem braucht er \(r\), um den Zusammenhang zwischen \(a\) und \(b\) aufstellen zu können.

Answer 1

Sehr einfach wäre es doch, wenn g immer die z-Koordinate -2 und h immer die y-Koordinate -4 hätte. Dann brauchst du nicht nachdenken und rechnen.

$$g: \vec x = \begin{pmatrix} 9\\-10\\-2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4\\3\\0 \end{pmatrix}$$

$$h: \vec x = \begin{pmatrix} 13\\-4\\-5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4\\0\\-1 \end{pmatrix}$$

Comments

Ich verstehe noch nicht ganz. Ich habe es eben versucht a=2 und b=-2 eingesetzt sodass -2=-2 ist. Nach dem selben Prinzip auch für Gerade h. Ich habe dann die Probe gemacht und es ist nicht der richtige Schnittpunkt rausgekommen.

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Was heißt denn Probe? Sieht halt nach Rechenfehlern aus. Ohne Rechnung aber schwer zu beurteilen.

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Hab’s nochmal probiert jetzt klapst. Vielen Dank ihr seit die Besten!

Answer 2

Du kannst für \(a\) und \(b\) beliebige Zahlen einsetzen, so dass es passt. Es gibt ja nicht nur eine Gerade, die durch diesen Punkt geht. Das einzige, worauf du achten musst, ist, dass die zweite Gerade die erste Gerade nur schneiden darf, also nicht parallel (bzw. identisch) sein darf.