Aloha :)
Ohne Kenntnis irgendwelcher Rahmenbedingungen sind für jede der 4 Stellen 10 Ziffern möglich:$$(0-9)\quad(0-9)\quad(0-9)\quad(0-9)$$
Die PIN enthält keine 4 und keine 9. Daher sind nur noch folgende Kombinationen möglich:$$(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)$$
Die erste Ziffer liegt in der 3-ten Zeile des Pads:$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)$$
Die letzte Ziffer liegt unmittelbar unter der vorletzten Ziffer. Die dritte Ziffer kann daher keine \(0\) sein, denn die vierte Ziffer muss ja kleiner sein. Die dritte Ziffer kann auch keine \(5\) sein, denn unmittelbar darunter wäre die \(4\), die aber schon durch die erste Bedingung rausgeflogen ist:$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(1,2,3,6,7,8)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)$$
Zusätzlich muss die letzte Ziffer um \(1\) kleiner sein als die dritte (sie liegt ja "unmittelbar unter"). Das führt zu folgenden Möglichkeiten:
$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(1)\quad(0)$$$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(2)\quad(1)$$$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(3)\quad(2)$$$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(6)\quad(5)$$$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(7)\quad(6)$$$$(1,2,3)\quad(0,1,2,3,5,6,7,8)\quad(8)\quad(7)$$
Das sind insgesamt \(6\) Fälle mit jeweils \(3\cdot8=24\) möglichen Kombinationen.
Das macht insgesamt \(144\) mögliche Kombinationen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Versuch eine falsche PIN probiert wird, ist: \(\frac{143}{144}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim 2. Versuch eine falsche PIN probiert wird, ist: \(\frac{142}{143}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim 3. Versuch eine falsche PIN probiert wird, ist: \(\frac{141}{142}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Versuche falsch sind, ist daher:$$\frac{143}{144}\cdot\frac{142}{143}\cdot\frac{141}{142}=\frac{141}{144}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass in 3 Versuchen die richtige PIN probiert wird, ist schließlich:$$1-\frac{141}{144}=\frac{3}{144}=\frac{1}{48}\approx2,08\%$$
