Potentiale, Polstellen und weiteres

Question

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VIER Polstellen FỬ EIN HAlleluJA
H2 Sei \( U=\mathbb{R}^{2} \backslash\left\{\binom{ \pm 1}{ \pm 1}\right\} \) und \( f: \mathbb{R}^{2} \supset U \rightarrow \mathbb{R}^{2}:\binom{x}{y} \mapsto \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}+\left(y^{2}-1\right)^{2}}\binom{+2 x\left(y^{2}-1\right)}{-2 y\left(x^{2}-1\right)} \).
(a) Seien \( x, y \in \mathbb{R} \). Der gerade Weg \( \alpha \) von \( (0, y) \) nach \( (x, y) \), wobei \( y \neq \pm 1 \), ergibt das Wegintegral \( \int \limits_{\alpha} f \cdot \mathrm{~d} s=\arctan \left(\frac{x^{2}-1}{y^{2}-1}\right)+\arctan \left(\frac{1}{y^{2}-1}\right) \). Berechnen Sie explizit das ähnliche Wegintegral \( \int \limits_{\beta} f \cdot \mathrm{~d} s \) für den geraden Weg \( \beta \) von \( (x, 0) \) nach \( (x, y) \), wobei \( x \neq \pm 1 \).
(b) Sei \( Q \) das Quadrat mit den Ecken \( (0,0),(0,2),(-2,2),(-2,0) \). Berechnen Sie \( \int \limits_{\partial Q} f \cdot \mathrm{~d} s \).
(c) Ist \( f \) rotationsfrei? Berechnen Sie \( \int \limits_{\partial B((-1,1), r)} f \cdot \mathrm{~d} s \) für \( 0<r<1 \). (Optional: \( 0<r<2 \).)
(d) Besitzt \( f \) ein Potential auf \( U \) ? und auf \( V=\mathbb{R}^{2} \backslash\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}|x= \pm 1,|y| \geq 1\}\right. \) ? Falls möglich berechnen Sie das Potential als Arbeitsintegral von \( (0,0) \) nach \( (x, y) \) mit den Wegen aus (a). Nutzen Sie folgende Identität, um schließlich alle arctan-Terme zusammenzufassen:
\( \arctan (1 / x)=\left\{\begin{array}{ll} +\pi / 2-\arctan x & \text { falls } x>0, \\ -\pi / 2-\arctan x & \text { falls } x<0 . \end{array}\right. \)

Hallo Zusammen,

ich muss diese Aufgabe lösen und abgeben, jedoch fehlt mir jeglicher Ansatz und Idee. Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

In Teil (a) und Teil (b) führen die Wege jeweils parallel zu einer der Koordinatenachsen. Solche Wegintegrale kann man schnell auf Integrale mit nur einer Variablen zurückführen.

zu a) Hier führt der Weg vom Startpunkt \(\vec r_0=(x_0;0)\) zum Endpunkt \(\vec r_1=(x_0;y_1)\), Das Integral kannst du daher wie folgt aufschreiben:$$I=\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1}\vec f(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{(x_0;0)}^{(x_0;y_1)}\frac{1}{(x^2-1)^2+(y^2-1)^2}\binom{2x(y^2-1)}{-2y(x^2-1)}\,\binom{dx}{dy}$$

Die \(x\)-Koordinate bleibt während des ganzen Weges konstant \((x=x_0)\), insdbesondere verschwindet daher das Differential \((dx=0)\), denn es ändert sich ja nichts:$$I=\int\limits_{y=0}^{y_1}\frac{1}{(x_0^2-1)^2+(y^2-1)^2}\binom{2x_0(y^2-1)}{-2y(x_0^2-1)}\,\binom{0}{dy}=\int\limits_{y=0}^{y_1}\frac{-2y(x_0^2-1)}{(x_0^2-1)^2+(y^2-1)^2}\,dy$$$$\phantom I=-\int\limits_{y=0}^{y_1}\frac{(x_0^2-1)}{(x_0^2-1)^2+(y^2-1)^2}\cdot\underbrace{(y^2-1)'}_{=2y}\,dy$$

Mit der Kettenregel folgt aus der Ableitung der \(\arctan\)-Funktion:$$\arctan'\left(\frac xa\right)=\frac{a}{a^2+x^2}\quad\implies\quad\arctan\left(\frac{f(x)}{a}\right)=\frac{a}{a^2+f^2(x)}\cdot f'(x)$$Mit \(a=(x_0^2-1)\) und \(f(y)=(y^2-1)\) erkennst du, dass die rechte Seite dem Integrand entspricht, sodass du das Integral sofort aufschreiben kannst:$$I=\left[-\arctan\left(\frac{y^2-1}{x_0^2-1}\right)\right]_{y=0}^{y_1}=-\arctan\left(\frac{y_1^2-1}{x_0^2-1}\right)+\arctan\left(\frac{-1}{x_0^2-1}\right)$$Wegen \(\arctan(-x)=-\arctan(x)\) könntest du das Minuszeichen aus der zweiten \(\arctan\)-Funktion noch herausziehen, aber das ist plastische Chirugie.

zu b) Hier kannst du dasselbe Prinzip wie in Teil (a) anwenden, da die Kanten des Quadrates parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

zu c) Wenn in den partiellen Ableitungen von \(\vec f(x;y)=\binom{f_x(x;y)}{f_y(x;y)}\) paarweise vertauschen, ist das Vektorfeld \(\vec f\) rotationsfrei. Prüfe daher die Beingung:$$\frac{\partial f_{\green x}(x;y)}{\partial\red y}=\frac{\partial f_{\red y}(x;y)}{\partial\green x}$$

zu d) In Teil (c) hast du rausbekommen, dass das Vektorfeld \(\vec f(x;y)\) rotationsfrei ist. Also gibt es ein Potential \(\phi(x;y)\). Als Lösung solltest du erhalten:$$\phi(x;y)=-\arctan\left(\frac{y^2-1}{x^2-1}\right)$$

Comments

Exsultate, jubilate, hallelujah.

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Vielen Dank, ich verstehe nun endlich was gewollt ist. Ich habe eine Frage zu der Stelle im Integral wo y1 zu y0 wird. Was hat das zu bedeuten?

Und bei der b) würde ich im Prinzip 4 Wegintegrale rechnen und zusammen addieren. Hier verwirrt mich die y0. Setze ich einfach die Eckpunkte als Grenzen und danach ins Integral einfach ein und rechne oder ändert sich da etwas wegen der y0?

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Die Frage ist berechtigt, \(y_1\) sollte natürlich nicht zu \(y_0\) werden. Da habe ich mich vertippt. Ich habe das korrigiert.

Bei Teil (b) hast du einen "Rundweg", auf dem sich jeweils eine Koordinate ändert:$$\binom{0}{0}\to\binom{0}{2}\to\binom{-2}{2}\to\binom{-2}{0}\to\binom{0}{0}$$Jeder Pfeil liefert dir ein Integral.

1) \(x=0\) festhalten und integrieren von \(y=0\) zu \(y=2\)

2) \(y=2\) festhalten und integrieren von \(x=0\) zu \(x=-2\)

3) \(x=-2\) festhalten und integrieren von \(y=2\) zu \(y=0\)

4) \(y=0\) festhalten und integrieren von \(x=-2\) zu \(x=0\)

Da das Feld, durch das du läufst, wirbelfrei ist, hängt der Wert des Integrals nicht vom Weg ab, sondern nur von Start- und Endpunkt. Da auf einem Rundweg Start- und Endpunkt gleich sind, sollte die Summe der vier Integrale null sein.

Answer 2

Die Schritte stehen da, neue Ideen braucht man da nicht.

a) Kurve aufstellen, also \(\alpha(t)\) finden, dazu ein Intervall \([a,b]\), so dass \(\alpha(a)=(0,y)\) und \(\alpha(b)=(x,y)\). Skizze hilft. Danach damit das Wegintegral ausrechnen, unter Benutzung der Definition.

b) Verwende vier Kurven, ähnlich wie in a).

Es geht hier darum, sich mit Begriffen und Resultaten der Vorlesung vertraut zu machen. Fang mal an und lass sehen wie weit Du kommst.