Aufgabe:
Fake-News
In sozialen Netzwerken finden sich zunehmend sogenannte Fake News (kurz: Fakes). Dabei handelt es sich um gezielt in Umlauf gebrachte Falschmeldungen in Form von Wortbeiträgen oder manipulierten Dokumenten wie Fotos. Der Betreiber eines solchen Netzwerkes gibt eine Studie in Auftrag. Bei der umfangreichen Stichprobe aus seinem Netzwerk stellt sich heraus, dass ca. \( 20 \% \) der geprüften Beiträge Fakes sind.
Der Betreiber nutzt diese relative Häufigkeit im Folgenden für die Modellannahme, dass es sich bei einem Beitrag, den er zufällig und unabhängig in seinem Netzwerk auswählt, mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 20 \% \) um einen Fake handelt.
a) Der Betreiber ruft insgesamt 50 verschiedene Beiträge zufällig auf.
(1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
\( \mathrm{E}_{1} \) : Bei keinem der aufgerufenen Beiträge handelt es sich um einen Fake.
\( E_{2} \) : Unter den aufgerufenen Beiträgen sind höchstens 10 Fakes.
\( \mathrm{E}_{3} \) : Mindestens 10 der aufgerufenen Beiträge sind Fakes.
(2) Beschreiben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang die beiden Ereignisse \( \mathrm{E}_{4} \) und \( \mathrm{E}_{5} \), deren Wahrscheinlichkeiten mit den folgenden Termen berechnet werden:
\( \begin{array}{l}P\left(E_{4}\right)=\binom{50}{9} \cdot 0,2^{9} \cdot 0,8^{50-9}+\binom{50}{10} \cdot 0,2^{10} \cdot 0,8^{50-10}+\binom{50}{11} \cdot 0,2^{11} \cdot 0,8^{50-11} \\ P\left(E_{5}\right)=1-\left(\binom{50}{0} \cdot 0,2^{0} \cdot 0,8^{50-0}+\binom{50}{1} \cdot 0,2^{1} \cdot 0,8^{50-1}+\ldots+\binom{50}{10} \cdot 0,2^{10} \cdot 0,8^{50-10}\right)\end{array} \)
[Hinweis: Die Werte der Terme müssen nicht berechnet werden.]
(3) Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E6: Unter den aufgerufenen Beiträgen sind höchstens 8 Fakes wird der folgende Vorschlag zur Berechnung gemacht: \( P\left(E_{6}\right)=2 \cdot P(X \leq 4) \).
Dabei bezeichnet \( X \) die Anzahl der Fakes unter den 50 aufgerufenen Beiträgen. Beurteilen Sie, ob dieser Vorschlag sinnvoll ist, ohne den Wert konkret zu bestimmen.
b) Gesucht wird die Anzahl n an Beiträgen, die der Betreiber bei zufälliger Auswahl mindestens aufrufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \( 90 \% \) mindestens einen Fake gelesen zu haben.
(1) Erläutern Sie im gegebenen Sachzusammenhang das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet wird: \( T(n)=0,8^{n} \).
(2) Geben Sie begründet eine Gleichung oder Ungleichung an, mit deren Hilfe ein Wert für die gesuchte Mindestanzahl an Beiträgen ermittelt werden kann. Nutzen
Problem/Ansatz:
Ich habe gerade Probleme diese Aufgabe zu berechnen. Könntet ihr mir dabei helfen? Das wäre super nett! Vielen Dank:)
