Winkel der Seitenwände einer Pyramide zueinander um Holzplatten sägen zu können

Question

Aufgabe:

Gesucht: der Winkel der Seitenwände einer Pyramide zueinander

Problem/Ansatz:

Problem, ich glaub ich bin zu alt (>60) und das Hirn ist nicht mehr im Training! ;-)

Ich möchte aus Holzplatten eine Pyramide fertigen und dazu muss ich die Seitenwände (Dreiecke) auf Gehrung sägen. Aber ich krieg's mit den Formeln nicht auf die Reihe, ich glaub da muss ich zuviel um die Ecke denken.

Intuitiv bin ich mir ziemlich sicher, dass der Winkel an den Seiten der Platten größer 90 Grad sein muss, denn die 90 Grad hab ich ja nur parallel zur Grundfläche.

Zuerst mach ich mir immer Skizzen, schmier drin rum, überlege mir die verschiedenen Dreiecke die ich ja mit dem Winkelfunkionen berechnen könnte und dann wir's unübersichtlich und ich verheddere mich total.

Help

Helmut

Comments

Hallo Helmut,

das selbe Problem hatte vor langer Zeit bereits ein anderer mir bekannter Tischlermeister ;-)

Wie sieht Deine 'Pyramide' genau aus? In welchem Winkel sollen die Seiten zur Grundfläche stehen. Und sind die WInkel für alle vier (sind es vier?) Seiten gleich? Ist die Grundfläche quadratisch, rechteckig oder anders?

---

Handelt es sich um eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ?
Zur Berechnung fehlt dann noch die Angabe der Höhe.

mfg Georg

---

Also eigentlich wird es eine Pyramide die oben abgeflacht ist, praktisch ein eckiger Trichter wenn man's rum dreht, was ja aber für den Winkel keine Rolle spielt.

Quadratische Grundfläche 45cm x 45cm, Höhe 90 cm bis zur eigentlich nicht benötigten/vorhandene Spitze. Abgeflachte Ebene ist 22,5cm x 22,5cm, also somit auf halber Höhe.

Der Winkel der Seiten zur Grundfläche müsste ja damit 45 Grad sein.

Thanx schon mal,
Helmut

---

Ist das so gemeint?

---

Der Winkel der Seiten zur Grundfläche müsste ja damit 45 Grad sein.

Es sollten arctan(90/(45/2)) = 75.96° sein

Du hättest recht, wenn die Höhe halb so lang ist wie die Grundseite.

Answer 1

Wenn von zwei Pyramidenwänden je 3 Eckpunkte bekannt sind, lassen sich damit die Ebenengleichungen und dann auch der Winkel bestimmen, unter dem die Ebenen aufeinandertreffen.

Comments

prinzipiell danke für die Antwort, da muss ich mich erst mal mit der mir bis dato. völlig fremden Thematik "Ebenengleichungen" auseinandersetzen.

Answer 2

unter den Voraussetzungen:

- die Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge a

- die Höhe der Pyramide ist h

- die Spitze der Pyramide liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche

(also eine klassische viereckige Pyramide)

kannst du die Gehrung aus dem Diagramm entnehmen


Werte für spezielle Werte von a und h reiche ich gerne nach.

Comments

Das Diagramm ist toll, prinzipiell wahrscheinlich ausreichend, denn ob ich als Heimwerker den Gehrungsschnitt auf 1-2 Grad genau hin kriege sei dahingestellt. Dennoch steckt ja hinter dem Diagramm eine Formel, die würde mich interessieren.

Answer 3

Herleitung mit den Mitteln der analytischen Geometrie

Winkel zwischen den Seitenflächen einer Pyramide

E: X = [0, 0, 0] + r·[1, 0, 0] + s·[a/2, a/2, h] → NE = [0, -h, a/2]

F: X = [0, 0, 0] + r·[0, 1, 0] + s·[a/2, a/2, h] → NF = [h, 0, - a/2]

α = arccos( ([0, -h, a/2]·[h, 0, - a/2]) / (|[0, -h, a/2]|·|[h, 0, - a/2]|) ) = arccos(- a^2/(a^2 + 4·h^2))

= arccos(- 1/(1 + 4·(h/a)^2))

Der Winkel an der Säge muss halb so groß eingestellt werden.

β = 1/2·arccos(- 1/(1 + 4·(h/a)^2))

Skizze

~plot~ 1/2·acos(-1/(1+4·x^2))180/pi;[[0|4|45|90]] ~plot~