Extrema bei einer Integralfunktion berechnen, wie?

Question

Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe im Buch......das hat mich nur mal so Interessiert, wie das hier klappen würde. Bei normalen Funktionen also Funktionen zweiten Gerades oder dritten Gerades oder ntes Gerades berechnen, das ist kein Problem :)

 

Aber wie siehts bei so einer Integralfunktion aus??

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie, an welchen Stellen folgende, auf ℝ definierte Integralfunktion relative Extrema und Wendepunkte besitzen.

a) $$ \int_{0}^{x} \frac { t^2-1 }{ t^2+1 }dt  $$

 

Meine Idee:

Ableitung über die Quotientenregel

Dann die 1 und die 2 Ableitung bilden und dann die 1.Ableitung gleich Null setzen und nach x auflösen und dann die x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen und dann schauen, ob es ein H oder T ist

Aber die Integralgrenzen irritieren mich ^^

Answer 1

F'(t) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1)
F''(t) = 4·t/(t^2 + 1)^2
F'''(t) = 4·(1 - 3·t^2)/(t^2 + 1)^3

Die Integralfunktion hat eventuell Extremstellen wo die Ableitung Nullstellen hat

Extremstellen F'(t) = 0
(t^2 - 1) / (t^2 + 1) = 0
t = ± 1

F''(-1) = -1 --> Hochpunkt

F''(1) = 1 --> Tiefpunkt

Wendestellen F''(t) = 0
4·t/(t^2 + 1)^2 = 0
t = 0

F'''(t) <> 0 --> Wendepunkt

Comments

Wie sieht denn eigentlich so eine Integralfunktion aus?? :)

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Das ist die Stammfunktion nur Normiert das sie durch den Ursprung geht.

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Ahso :)

Ich hab mal eine Frage...im Buch stehen auch die Lösungen, also die haben da mit x gerechnet und nicht mit t also die haben da (x²-1)/(x²+1) ????

kann man das auch so machen wie es im Buch steht??

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Eigentlich ist das richtig wie es im Buch steht. Weil die Integralfunktion ja für x definiert ist. Ich habe nur der faulheithalber über cut und paste deine Funktion übernommen. An den Ergebnissen ändert sich ja nichts

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Ahsoo :)

Und die Grenze 1 spielt da auch keine Rolle oder wofür steht die da??

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Die Grenze 1 ? Ich denke die sind 0 und x ?

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Ahja meine ich doch :)