Gleichheit Körpererweiterungen

Question

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Aufgabe 6.1 (Einfache algebraische Körpererweiterung)
\( (1+2+1 \text { Punkte }) \)

Sei \( p(x)=x^{3}+x^{2}-2 x+1 \in \mathbb{Q}[x] \).
(a) Zeigen Sie, dass \( p \) irreduzibel über \( \mathbb{Q} \) ist.

Sei nun \( \theta \) eine Nullstelle von \( p \) in einer Körpererweiterung von \( \mathbb{Q} \).
(b) Schreiben Sie \( \left(\theta^{2}-1\right)^{-1} \) und \( \theta^{5} \) als Linearkombination von \( 1, \theta \) und \( \theta^{2} \) über \( \mathbb{Q} \).
(c) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{Q}(\theta)=\mathbb{Q}\left(\theta^{2}-1\right) \) gilt.

Kann mir jemand bei der c) helfen?

Comments

Vorschlag zu (b): Es gelte \(p(\theta)=0\). Dann ist
\(0=\theta^2{\cdot}p(\theta)-\theta{\cdot}p(\theta)+3{\cdot}p(\theta)=\theta^5+6\theta^2-7\theta+3\) und damit \(\theta^5=-6\theta^2+7\theta-3\).

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Die a) und b) hab ich schon, aber danke. Ich bräuchte nur Hilfe bei der c). Ich verstehe nicht ganz, wie ich mir die Körpererweiterungen vorzustellen habe.