Eine möglicherweise unelegante Methode, c) zu zeigen, ist einfach direkt nachzurechen.
Ich benutzte im Weiteren aus Schreibfaulheit \(t=\theta\).
Wir wissen zunächst \(p(t)=0\):
$$t^3 = -t^2+2t - 1\quad (1)$$Somit gilt:
\( \mathbb Q(t) = \{c_0 + c_1 t + c_2 t^2\;|\; c_0,c_1,c_2 \in \mathbb Q\}= \operatorname{span}_{\mathbb Q}(1,t,t^2)\)
Ohne das Minimalpolynom von \(t^2-1\) kennen zu müssen, wissen wir, wenn \(n\) der Grad dieses Polynoms ist, gilt
\(\mathbb Q(t^2-1) = \operatorname{span}_{\mathbb Q}(1,t^2-1,\ldots ,(t^2-1)^{n-1} ) \)
Da jede Potenz \(t^k\) mit \(k\geq 3\) wegen (1) als rationale Linearkombination von \(1,t,t^2\) ausgedrückt werden kann, folgt sofort:
\(\mathbb Q(t^2-1) \stackrel{(1)}{\subseteq} \mathbb Q(t)\)
Es genügt also zu zeigen, dass \(\mathbb Q(t) \subseteq \mathbb Q(t^2-1) \). Dafür genügt es zu zeigen, dass \(t \in \mathbb Q(t^2-1)\):
Betrachte dazu nochmal (1). Es folgt:
$$\begin{array}{rcl} t^4 & \stackrel{(1)}{=} & t( -t^2+2t - 1) \\ & = & -t^3+2t^2-t \\ & \stackrel{(1)}{=} & -(-t^2+2t - 1)+ 2t^2-t \\ &=& 3t^2-3{\color{blue}t}+1\quad (2)\end{array}$$
Das legt nahe, dass \(t\) als rationale Linearkombination von \(1,t^2-1, (t^2-1)^2\) geschrieben werden kann:
$$c_0 + c_1(t^2-1) + c_2(t^2-1)^2 \stackrel{!}{=} t \quad (3)$$(Eventuell gibt es ein elegantes algebraisches Argument, wieso das Minimalpolynom von \(t^2-1\) den Grad 3 haben muss. Dann wäre der Ansatz (3) sofort "zwingend".)
Linke Seite ausmultiplizieren und (2) einsetzen und Koeffizientenvergleich ergibt:
$$t = 1+\frac 13(t^2-1)-\frac 13(t^2-1)^2 \Rightarrow t \in \mathbb Q(t^2-1) \Rightarrow \boxed{\mathbb Q(t) \subseteq \mathbb Q(t^2-1)}$$
