Zahlen auf einer Tafel

Question

Aufgabe:

Auf einer Tafel stehen die Zahlen 1, 2, 3, … , 2023, 2024, 2025

Man darf zwei beliebige Zahlen wegwischen und dafür die Differenz hinschreiben.

Dies wird wiederholt, bis nur noch eine Zahl übrig bleibt.

Zu zeigen ist, dass diese Zahl immer ungerade ist.

Comments

Hallo

experimentiere mit 1,2,3 und 1,2,3,4,5

dann verallgemeinere,oder nimm je 2 folgende hinzu.

lul

Answer 1

Wähle 1,2,3,4,5,6,7. 3-1=2, 4-2=2, 7-5=2. Stehen bleiben 2,2,2,6. Alle Differenzen sind gerade.

Comments

Interessanter Ansatz, aber mit derselben Logik käme auch bei 2024 Zahlen die 1 heraus.  Das ist aber offensichtlich falsch, wie das Gegenbeispiel zeigt, indem man immer zwei benachbarte Zahlen subtrahiert und somit am Ende 0 erscheint.

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Das ist vor allem unmathematisch. Bereits im ersten Semester lernt man schon, dass man anhand eines Beispiels in der Regel nicht auf die Allgemeinheit schließen kann!

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Mein Kommentar bezog sich auf das, was vorher da stand: der Hinweis auf den Euklidischen Algorithmus (mittlerweile entfernt).

Answer 2

Da braucht man nicht zu experimentieren: Es ist eine ungerade Anzahl von Zahlen, davon ist eine gerade Anzahl gerade. In jedem Schritt wird es eine Zahl weniger. Die Differenz zweier ungeraden oder geraden Zahlen ist gerade, also bleibt die Anzahl gerader Zahlen gerade. Wenn also eine Zahl übrig bleibt, ...

Comments

Du bist auf dem richtigen Weg, aber in den anderen beiden Fällen nimmt die Anzahl der geraden Zahlen um 1 ab.

Answer 3

Die Differenz aus zwei Zahlen ist die Summe der beiden Zahlen minus zweimal die kleinere Zahl.

Für a ≥ b gilt also Differenz = a - b = a + b - 2b

Beim Bilden von Differenzen zwischen zwei Zahlen wird also aus der Summe immer eine gerade Zahl subtrahiert.

Die Summe der Zahlen ∑ (x = 1 bis 2025) (x) = 2051325 ist eine ungerade Zahl.

Wenn wir durch Bildung von Differenzen, immer eine gerade Zahl wegnehmen, wird am Ende eine ungerade Zahl übrig bleiben.

Comments

Aber a+b kann ungerade sein

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Aber a+b kann ungerade sein

Das habe ich doch nie bestritten.

Ich habe nur gesagt, dass man durch bilden von Differenzen immer eine gerade Zahl von der Summe wegnimmt. D.h. ist die Summe aller Zahlen an der Tafel ungerade und nehme ich durch das Bilden von Differenzen immer eine gerade Zahl von dieser Summe weg, muss am Ende eine ungerade Zahl übrig bleiben.

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Du nimmst zwar eine gerade Zahl weg, addierst aber gleichzeitig die Zahl a+b, die sowohl gerade als auch ungerade sein kann.

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Ich addiere nichts gleichzeitig. Ich habe die Summe aller Zahlen schon gebildet. Ganz am Anfang habe ich alle Zahlen an der Tafel addiert und kam auf eine ungerade Summe. Nun nehme ich immer von der Summe eine gerade Zahl weg, weil ich Differenzen bilde.

Beispiel

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (ungerade)

Ich bilde von 1 und 2 die Differenz ergibt 1.
Von 3 und 4 ist die Differenz ebenfalls 1.

1 + 1 + 5 = 7 (ungerade)

Du siehst, dass die Summe der Zahlen an der Tafel immer noch ungerade ist.

Egal welche Differenzen man bildet. Die Summe der Zahlen an der Tafel bleibt ungerade. Das ändert sich nie.

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Ok, paßt jetzt schon.

Hier der Ansatz, den Hubert knapp verpaßt hat, weil er sich auf die geraden Zahlen fokussiert hat:

Die Anzahl der ungeraden Zahlen ist am Anfang ungerade.

Bei jeder der 4 möglichen Operationen (g-g, u-u, g-u, u-g) ändert sich die Anzahl der ungeraden Zahlen um 2 oder bleibt konstant. Ergo muß die Anzahl der ungeraden Zahlen am Ende 1 sein.

Sollte eine nette Spielerei zum Jahreswechsel sein :-)

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Und das zeigt, warum das "Gegenbeispiel" von Roland keines ist: dort ist die Anzahl der ungeraden Zahlen gerade. ;)