Gibt es ähnliche Dreiecke, die ich übersehe oder die mich weiterbringen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist:

In einem Dreieck ABC mit ||A - B|| ≥ ||B - C|| ≥ ||A - C||.

Beweisen Sie:

Für alle Punkte P im Inneren des Dreiecks gilt:

||P - A|| + ||P - B|| + ||P - C|| < ||A - B|| + ||B - C||

Hinweis: Ähnlichkeitssätze.

Problem/Ansatz:

Meine Ansätze mit Dreiecksungleichung, sowie ähnliche Dreiecke mittels Parallelen durch P zu den Dreiecksseiten zu konstruieren, haben mich etwas weiter gebracht, jedoch verstehe ich noch nicht ganz, wie ich die Verhältnisse aus den Ähnlichkeitssätzen verwenden soll. Es wird sehr schnell unübersichtlich bei den ganzen Verhältnisgleichungen der Seitenlängen.

Gibt es ähnliche Dreiecke, die ich übersehe oder die mich weiterbringen?

Danke für jeden Hinweis/Lösungsansatz schon mal :)

Answer 1

Ich bin nicht sicher, ob das etwas mit ähnlichen Dreiecken zu tun hat. Fakt ist:

Wenn P nicht im Inneren, sondern auf dem Rand des Dreiecks, und zwar konkret im Punkt B liegt, dann gilt zwischen den Termen |P - A|| + ||P - B|| + ||P - C|| und ||A - B|| + ||B - C|| die Gleichheit.

Zu zeigen ist nun Folgendes: Wenn sich P von B aus ins Innere des Dreiecks bewegt, dann ist die Zunahme von PB geringer als die Abnahme der Summe PA+PC.

Comments

Den Gedanken kann ich nachvollziehen, P in B zu legen, jedoch ist P explizit im Inneren des Dreiecks, was für die Eckpunkte und Außenseiten ausschließt.

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Ja, aber genau das ist doch der Ausgangspunkt für zielführende Überlegungen!

Übrigens hast du mir gerade (ungewollt)  die entscheidende Idee zur Lösung gegeben:

Wenn man P von B aus auf der Strecke BA bewegt, MUSS die Ungleichung gelten.

(Warum?)

Wenn man P von B aus auf der Strecke BC bewegt, MUSS die Ungleichung gelten.

Wenn man P von B aus in Innere des Dreiecks bewegt, MUSS die Ungleichung erst recht gelten.

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Ahhh, ich sehe was du meinst, danke dafür.
Nur bekomme ich es gerade nicht hin für z. B. den ersten Fall mit auf der Strecke AB die Ungleichung ||B - C|| > ||P - C|| zu zeigen. Dreiecksungleichung etwas rumspielen oder kommen da die Ähnlichkeiten in's Spiel?

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Egal, wo P auf AB ist: Die Summe PA + PB verändert sich nicht. Wenn sich P aber von B wegbewegt, wird PC kürzer.

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Das ist intuitiv klar, aber wie lässt sich das begründen? "Per Konstruktion klar" oder wie?

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PC ist kleiner als PB wegen der Dreiecksungleichung im Dreieck PCB (wenn P auf AB liegt).

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PC und PB? PB kann doch größer als PC werden (z. B. P in die Nähe von A legen, sodass PC = AC und PB = AB)?

Müsste man nicht PC und BC betrachten?

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Hast recht, es geht um PC.