Steckbriefaufgabe lösen, Kurvendiskussion

Question

weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe die Gleichungen aufstellen kann:

Eine Funktion dritter Ordnung hat an der Stelle x1=2 eine horizontale Tangente.
Sie hat Rechtskrümmung im Intervall l1 (x|-unendlich < x <4) und Linkskrümmung im Intervall
l2 (x|4 < x < unendlich). Ihre Wendetangente hat die Funktion Tw = (y,y | y= f(x)= -12x +64).

Ich komme hier leider nicht weiter, habe mir zwar schon ein paar Beiträge hier angesehen aber damit hats auch nicht geklappt.

Answer 1

f ( x ) = a x ³ + b x ² + c x + d

f ' ( x ) = 3 a x ² + 2 b x + c

f ' ' ( x ) = 6 a x + 2 b

f ' ' ' ( x ) = 6 a

 

Aus der Aufgabenstellung:

Horizontale Tangente an der Stelle x₁ = 2 , also:

f ' ( 2 ) = 0

<=> 3 a * 2 ² + 2 * b * 2 + c = 0

<=>   12 a + 4 b + c = 0

Aufgrund der angegebenen Krümmungsintervalle muss die Wendestelle bei x₂ = 4 liegen, also

f ' ' ( 4 ) = 0

<=> 6 * a * 4 + 2 b = 0

<=> 24 a + 2 b = 0

Die Steigung von f ( x ) an der Wendestelle x₂ muss gleich der Steigung der dortigen Tangente sein, also: 

f ' ( 4 ) = - 12

<=> 3 * a * 4 ² + 2 * b * 4 + c = -12

<=> 48 a + 8 b + c = -12

Außerdem muss die Tangente durch den Wendepunkt gehen, also müssen dessen Koordinaten die Tangentengleichung erfüllen. Daraus ergibt sich die y - Koordinate des Wendepunktes zu
y = - 12 * 4 + 64 = 16
Der Punkt ( 4 / 16 ) muss aber auch auf f ( x ) liegen, also:

f ( 4 ) = 16

<=> a * 4 ³ + b * 4 ² + c * 4 + d = 16

<=> 64 a + 16 b + 4 c + d = 16

Mit den 4 fett gesetzten Gleichungen lassen sich die Parameter a, b, c, d bestimmen. Das Lösen des Gleichungssystems überlasse ich mal dir.

Es ergibt sich:

a = 1

b = - 12

c = 36

d = 0

und damit:

f ( x ) = x ³ - 12 x ² + 36 x 

 

Hier noch das Schaubild des Graphen von f ( x ) sowie zur Kontrolle das der Wendetangente:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3-12x^2%2B36x%2C-12x%2B64+from+-1+to+7

Comments

Hi, vielen Dank für deine ausführlche Bemühung!

Das lösen der Gleichungssysteme bekomme ich mit ner Matrix gut hin, allerdings tue ich mir mit dem aufstellen der Gleichung bzw. mit dem umsetzten der Textinformationen ein bisschen schwer :/ .

Gibts dazu vielleicht ein Onlineskript oder sonst eine gute Hilfestellung?

 

Gruß =)

---

Immer wieder gerne :-)

Es erfordert einfach ein bisschen Übung um in einem Aufgabentext die wichtigen Informationen von den unwichtigen trennen und die wichtigen Informationen mathematisch ausformulieren zu können. Ein Patentrezept dazu gibt es wohl nicht.

Wichtig für solche Aufgaben wie die vorliegende ist, dass du dir über die Bedeutung der Ableitungen im Klaren bist.

---

Morgen, ich weiß, dass f" (x) von einem Wendepunkt = 0 gibt.

Was muss ich über die Ableitungen noch alles wissen?


Gruß

---

Was ich noch weiß ist, dass f` (x) bei Extremwerten = 0 ist

---

Was genau gibt es denn noch wichtiges über die Ableitungen zu wissen?


M.f.G,