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In einem Experiment zerfallen in jeder Minute 30 % der noch vorhandenen Masse einer radioaktiven Substanz. Zu Beginn sind 2 mg des Stoffes vorhanden.

stellen sie eine Gleichung für die zerfallsfunktion auf

und berechnen sie die Zeitspanne in der sich die Masse halbiert

da bräuchte ich hilfe

 !
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Benutze die Zinseszinsformel:

K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t

mit:

K ( 0 ) : Anfangsbestand
t : Anzahl der Zinsperioden
p : Zinssatz  bzw. Wachstums- oder Zerfallsrate, also die prozentuale Zu- bzw. Abnahme je Zinsperiode
K ( t ) Bestand nach t Zinsperioden.

 

Vorliegend:

K ( 0 ) = 2 mg
t : Variable der aufzustellenden Funktion
p = - 30 % = - 0,3 (Minuszeichem da es sich um einen Zerfallsprozess handelt)
 

Also lautet die Zerfallsfunktion:

K ( t ) = 2 * ( 1 - 0,3 ) t = 2 * 0,7 t

Die Zeitspanne, in der sich der zu Anfang vorhandene Bestand halbiert, nennt man auch "Halbwertszeit". Benutzt man wieder die Zinseszinsformel

K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t

dann sucht man also die Anzahl t der Zinsperioden, nach der gilt:

K ( t ) = ( 1 / 2 ) * K  ( 0 )

Dies in die Zinseszinsformel für K ( t ) eingesetzt ergibt:

( 1 / 2 ) * K  ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t

Auflösen nach t:

<=> 1 / 2 = ( 1 + p ) t

(Beachte: K ( 0 ) ist herausgefallen! Die Halbwertszeit hängt also nicht vom Anfangsbestand ab sondern ist für jeden Anfangsbestand gleich! Sie hängt nur von der Zerfallsrate p ab.)

<=> log ( 1 / 2 ) = log ( 1 + p ) t = t * log ( 1 + p )

<=> t = log ( 1 / 2 ) / log ( 1 + p )

Setzt man hier nun die Zerfallsrate p = - 0,3 ein, so erhält man:

t = log ( 1 / 2 ) / log ( 0,7 ) ≈ 1,94336 Minuten

 

Also:
Die Halbwertszeit beträgt etwa 1,94336 Minuten.
Das bedeutet: Nach jeweils knapp zwei Minuten halbiert sich die Masse.

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