Benutze die Zinseszinsformel:
K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
mit:
K ( 0 ) : Anfangsbestand
t : Anzahl der Zinsperioden
p : Zinssatz bzw. Wachstums- oder Zerfallsrate, also die prozentuale Zu- bzw. Abnahme je Zinsperiode
K ( t ) Bestand nach t Zinsperioden.
Vorliegend:
K ( 0 ) = 2 mg
t : Variable der aufzustellenden Funktion
p = - 30 % = - 0,3 (Minuszeichem da es sich um einen Zerfallsprozess handelt)
Also lautet die Zerfallsfunktion:
K ( t ) = 2 * ( 1 - 0,3 ) t = 2 * 0,7 t
Die Zeitspanne, in der sich der zu Anfang vorhandene Bestand halbiert, nennt man auch "Halbwertszeit". Benutzt man wieder die Zinseszinsformel
K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
dann sucht man also die Anzahl t der Zinsperioden, nach der gilt:
K ( t ) = ( 1 / 2 ) * K ( 0 )
Dies in die Zinseszinsformel für K ( t ) eingesetzt ergibt:
( 1 / 2 ) * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
Auflösen nach t:
<=> 1 / 2 = ( 1 + p ) t
(Beachte: K ( 0 ) ist herausgefallen! Die Halbwertszeit hängt also nicht vom Anfangsbestand ab sondern ist für jeden Anfangsbestand gleich! Sie hängt nur von der Zerfallsrate p ab.)
<=> log ( 1 / 2 ) = log ( 1 + p ) t = t * log ( 1 + p )
<=> t = log ( 1 / 2 ) / log ( 1 + p )
Setzt man hier nun die Zerfallsrate p = - 0,3 ein, so erhält man:
t = log ( 1 / 2 ) / log ( 0,7 ) ≈ 1,94336 Minuten
Also:
Die Halbwertszeit beträgt etwa 1,94336 Minuten.
Das bedeutet: Nach jeweils knapp zwei Minuten halbiert sich die Masse.
