Aufgabe:
Ich bin so verzweifelt, ich soll so eine Tabelle erstellen, wo ich die Intervalle zeige oder keine Ahnung ich verstehe das nicht, ich habe ein Bild hinzugefügt, ich soll die globalen und die lokalen Extrema herausfinden, bis jetzt habe ich die Nullstellen herausgefunden und bin bei Aufgabe a aber weiter bin ich nicht:(((
Text erkannt:
\( f^{\prime}(x) \) \( f(x) \) scigend \( \Rightarrow \begin{array}{ll}x=2+\sqrt{5} \\ x=1\end{array} \)
\( \begin{array}{l} -x+1 \\ 1 \end{array} \)
\( -\frac{(-x+1)}{6} \)
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{(x x-2 x-2)(x-3)-1(x-3)^{2}}{\left(0 x+6-3 x^{3}-3 x^{2}-2 x\right.} \\ =\frac{9 x^{3}-6 x^{2}-2 x-27 x^{2}+18 x+6-3 x^{2}-3 x^{2}}{(x-3)^{2}} \\ \frac{6 x^{3}-3 x^{2}+1 x+6}{(x-3)^{2}}=\frac{6\left(x^{3}-5 x^{2}+3 x+1\right)}{(x-3)^{2}} \\ f(x)=0 \Rightarrow x^{3}-5 x^{2}+3 x+1=0 \Rightarrow x=1 \text { ist NE } \\ \left(x^{3}-5 x^{2}+3 x+1\right) \cdot(x-1) \cdot x^{2}-4 x-1 \\ \text { P3) } x_{1 / 2}=2 \pm \sqrt{4+1} \\ \frac{-\left(x^{3}-x^{2}\right)}{-4 x^{2}+3 x} \\ -\frac{-4 x^{2}+4 x}{-x} \\ =2 \pm \sqrt{5} \end{array} \)
Text erkannt:
Bonusaufgabe (5 Punkte). a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left(x^{2}-49 x+1\right) \mathrm{e}^{x} \)
b) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der Funktion
\( g:\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, 3\right] \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\frac{\ln \left(x^{2}\right)+1}{3 x^{2}} \)
c) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \cdot\left(\arctan (x)-\frac{\pi}{2}\right), \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{3} \sin (x)} \)
Text erkannt:
Bonusaufgabe:
a.) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x^{2}-49 x+1\right) e^{x} \)
Productreged: \( u \cdot v+v i \cdot v \)
\( \begin{aligned} v & =x^{2}-49 x+1 \quad v^{\prime}=2 x-49 \\ v & =e^{x} \quad \quad v^{\prime}=e^{x} \\ f^{\prime}(x) & =\left(x^{2}-49 x+1\right) \cdot e^{x}+(2 x-49) \cdot e^{x} \quad \mid e^{x} \text { ausidamrem } \\ & =e^{x} \cdot\left(x^{2}-49 x+1+2 x-49\right) \\ & =e^{x}\left(x^{2}-47 x-48\right) \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=0 \\ \Leftrightarrow e^{x}\left(x^{2}-47 x-48\right)=0 \quad \text { Satz vom Nullproduct } \\ e^{x}=0 \text { \& } \quad x^{2}-47 x-48=0 \text { |pq-Formel } \\ x_{1,2}=23,5 \pm \sqrt{(23,5)^{2}+48} \\ x_{1,2}=23,5 \pm \sqrt{600,25} \\ x_{1}=23,5 \pm \sqrt{600,25} \\ x_{2}=23,5-\sqrt{600,25} \end{array} \)
