Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion (Bin sehr verzweifelt)

Question

Aufgabe:

Ich bin so verzweifelt, ich soll so eine Tabelle erstellen, wo ich die Intervalle zeige oder keine Ahnung ich verstehe das nicht, ich habe ein Bild hinzugefügt, ich soll die globalen und die lokalen Extrema herausfinden, bis jetzt habe ich die Nullstellen herausgefunden und bin bei Aufgabe a aber weiter bin ich nicht:(((

Text erkannt:

\( f^{\prime}(x) \) \( f(x) \) scigend \( \Rightarrow \begin{array}{ll}x=2+\sqrt{5} \\ x=1\end{array} \)
\( \begin{array}{l} -x+1 \\ 1 \end{array} \)
\( -\frac{(-x+1)}{6} \)
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{(x x-2 x-2)(x-3)-1(x-3)^{2}}{\left(0 x+6-3 x^{3}-3 x^{2}-2 x\right.} \\ =\frac{9 x^{3}-6 x^{2}-2 x-27 x^{2}+18 x+6-3 x^{2}-3 x^{2}}{(x-3)^{2}} \\ \frac{6 x^{3}-3 x^{2}+1 x+6}{(x-3)^{2}}=\frac{6\left(x^{3}-5 x^{2}+3 x+1\right)}{(x-3)^{2}} \\ f(x)=0 \Rightarrow x^{3}-5 x^{2}+3 x+1=0 \Rightarrow x=1 \text { ist NE } \\ \left(x^{3}-5 x^{2}+3 x+1\right) \cdot(x-1) \cdot x^{2}-4 x-1 \\ \text { P3) } x_{1 / 2}=2 \pm \sqrt{4+1} \\ \frac{-\left(x^{3}-x^{2}\right)}{-4 x^{2}+3 x} \\ -\frac{-4 x^{2}+4 x}{-x} \\ =2 \pm \sqrt{5} \end{array} \)

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left(x^{2}-49 x+1\right) \mathrm{e}^{x} \)
b) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der Funktion
\( g:\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, 3\right] \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\frac{\ln \left(x^{2}\right)+1}{3 x^{2}} \)
c) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \cdot\left(\arctan (x)-\frac{\pi}{2}\right), \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{3} \sin (x)} \)

Text erkannt:

Bonusaufgabe:
a.) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x^{2}-49 x+1\right) e^{x} \)

Productreged: \( u \cdot v+v i \cdot v \)
\( \begin{aligned} v & =x^{2}-49 x+1 \quad v^{\prime}=2 x-49 \\ v & =e^{x} \quad \quad v^{\prime}=e^{x} \\ f^{\prime}(x) & =\left(x^{2}-49 x+1\right) \cdot e^{x}+(2 x-49) \cdot e^{x} \quad \mid e^{x} \text { ausidamrem } \\ & =e^{x} \cdot\left(x^{2}-49 x+1+2 x-49\right) \\ & =e^{x}\left(x^{2}-47 x-48\right) \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=0 \\ \Leftrightarrow e^{x}\left(x^{2}-47 x-48\right)=0 \quad \text { Satz vom Nullproduct } \\ e^{x}=0 \text { \& } \quad x^{2}-47 x-48=0 \text { |pq-Formel } \\ x_{1,2}=23,5 \pm \sqrt{(23,5)^{2}+48} \\ x_{1,2}=23,5 \pm \sqrt{600,25} \\ x_{1}=23,5 \pm \sqrt{600,25} \\ x_{2}=23,5-\sqrt{600,25} \end{array} \)

Comments

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind x₁=48 und x₂=-1.

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ja aber ich darf das nicht mit dem taschenrechner lösen

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ich soll so eine Tabelle erstellen

Das wird in der Aufgabe nicht verlangt. Dort wird verlangt, man solle Extrema bestimmen.

Ist Aufgabe c) nur dekorative Staffage? Du hast keine Frage dazu gestellt.

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Nein, weil ich mit b noch nicht fertig bin, bei c habe ich garkeinen plan

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bei c habe ich garkeinen plan

Die Regel von de L’Hospital wäre ein Plan, falls die in Eurem Gymnasium schon drangekommen ist.

Der Tangens von pi/2 ist eine Polstelle, also ist der Arcustangens von unendlich gleich pi/2, so dass bei der ersten Aufgabe der erste Faktor gegen unendlich geht und der zweite Faktor gegen Null. Bei der zweiten Aufgabe geht der Zähler gegen Null und der Nenner gegen Null, also auch Hospital.

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Das wird in der Aufgabe nicht verlangt. Dort wird verlangt, man solle Extrema bestimmen.

Das ist das Vorzeichenwechselkriterium und die Berechnung von Extrema verlangt grundsätzlich, dass man auch ein hinreichendes Kriterium heranzieht. Zu behaupten, es würde nicht verlangt werden, ist also einfach falsch. Gerade bei komplizierteren Funktionen ist das VZW-Kriterium sinnvoller, da man nicht nochmals ableiten muss.

falls die in Eurem Gymnasium

Sie studiert bereits.

Answer 1

Die Ableitung stimmt. Auch die Rechnung soweit. Nun ziehe die Wurzel (per Bruchrechnung).

Am einfachsten ist hier Vieta mit etwas Zahlenverständnis.

Comments

was genau meinst du?

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Studierst du Mathematik?

Nun ziehe die Wurzel (per Bruchrechnung).

Vergleiche

1) \(\sqrt{39,0625}\) und

2) \(\sqrt{\frac{625}{16}}\).

Es hat schon seine Gründe, warum man beim Rechnen Brüche vorziehen sollte. Es kommt übrigens dasselbe Ergebnis heraus. Den Satz von Vieta könnte man aus der Schule kennen, falls nicht, kann man erwarten, dass man das nachschlägt.

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Nein, Informatik

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siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vieta#Die_Aussage_und_ihre_Umkehrung

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Woher hast du die 39,0625?

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Es geht doch nicht um diese Zahlen, das war ein Beispiel. Hast Du das gerechnet ("vergleiche") und verstanden?

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ja hab jetzt den satz von vieta verstanden

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Meine Frage zielte auf das Zahlenbeispiel von Apfelmännchen. Vieta ist eine andere Möglichkeit, das sollte für Dich nur eine Auffrischung aus der Schule sein. Hast Du nun die Nullstellen bestimmt? Verwende alle(!) hier genannten Methoden.

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ich habe die Nullstellen -1 und 48 herausgefunden

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Gut. Und hoffentlich auch die Rechenwege verstanden - um die geht es in den Aufgaben, nicht um die Zahlen.

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kannst du unten gucken, ob meine ableitung von b richtig ist bitte

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Für Ableitungen wurdest Du schon mehrfach auf ableitungsrechner.net verwiesen. Als Informatik-Studi müsste es Dir doch Spaß machen, Deine Rechnung mit Informatik-Tools selbst prüfen zu können. Wo ist das Problem damit?

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Das mit den Ableitungsrechner hab ich total vergessen, vielen Dank

Answer 2

Deine Ableitung und der Satz vom Nullprodukt sind richtig.

Hier brauchst du es tatsächlich nicht mit dem Taschenrechner lösen. Oftmals sind hilfsmittelfreie Aufgaben so gestellt, dass man sie sehr schnell mit dem Satz von Vieta lösen kann.

Wenn wir die faktorisierte Form eines quadratischen Funktionsterms haben, von dem die Nullstellen -m und -n sind, dann lautet es ausmultipliziert:

(x + m)(x + n)
= x^2 + mx + nx + mn
= x^2 + (m + n)x + mn

Du suchst also bei dir x^2 - 47x - 48 zwei Zahlen, deren Produkt m * n = - 48 und deren Summe m + n = -47 ist.

Man sieht das 1 * (- 48) = - 48 und 1 + (- 48) = - 47. Damit können die Zahlen m = 1 und n = - 48 sein und deine Faktorzerlegung lautet.

x^2 - 47x - 48
= (x + 1)(x - 48)

Damit sind die Nullstellen sehr leicht ablesbar bei x = -1 und x = 48.

Hantiert man mit der pq-Formel ist es Ratsam immer Brüche zu benutzen, weil man dort z.B. aus Zähler und Nenner getrennt die Wurzel ziehen kann. Also

x^2 - 47x - 48 = 0

x = 47/2 ± √(47²/4 + 48) = 47/2 ± √(2209/4 + 192/4) = 47/2 ± √(2401/4) = 47/2 ± 49/2

Comments

Ja stimmt, man kann es auch so machen

ist meine Ableitung von b richtig?

Text erkannt:

b.) \( g:\left[\frac{1}{e}, 3\right] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{\ln \left(x^{2}\right)+1}{3 x^{2}} \)

Quctienterregel: \( \frac{u \cdot v-v \cdot v^{\prime}}{v^{2}} \)
\( \begin{aligned} u^{\prime} & =\frac{1}{x^{2}} \cdot 2=\frac{2}{x^{2}} \\ v^{\prime} & =6 x \\ g^{\prime}(x) & =\frac{\left(\frac{2}{x^{2}}\right) \cdot 6 x-\left(\ln \left(x^{2}\right)+1\right) \cdot 6 x}{9 x^{4}} \\ & =\frac{\frac{12 x}{x^{2}}-6 x \ln \left(x^{2}\right)+6 x}{9 x^{4}} \\ & =\frac{\frac{12}{x}-6 x \ln \left(x^{2}\right)+6 x}{9 x^{4}} \end{aligned} \)

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Die innere Ableitung von \(\ln(x^2)\) ist nicht \(2\), sondern \(2x\).

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Du hast bei b die Formel für die Quotientenregel falsch umgesetzt: im Zähler taucht v nicht auf.

Beachte auch, dass die Texterkennung hier versagt hat.

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Beachte das der ableitungsrechner.net das teilweise etwas umständlich rechnet. Daher sollte man den nur zur Kontrolle und zur Ideenfindung benutzen, aber nicht die generierte Abschreibung so übernehmen.

So sieht das bei mir aus:

$$g(x) = \frac{\ln(x^2) + 1}{3x^2} \newline g'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2} \cdot 3x^2 - (\ln(x^2) + 1) \cdot 6x}{9x^4} \newline g'(x) = \frac{6x - 6x \cdot \ln(x^2) - 6x}{9x^4} \newline g'(x) = \frac{- 6x \cdot \ln(x^2)}{9x^4} \newline g'(x) = - \frac{2 \cdot \ln(x^2)}{3x^3}$$

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Kann jemand meine b und meine c kontrollieren, das sind wichtige Punkte für die Klausurzulassung:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} g^{\prime}(x) & =-\frac{2 \ln \left(x^{2}\right)}{3 x^{3}} \\ u & =-2 \ln \left(x^{2}\right) \quad v^{\prime} \equiv \frac{2}{x^{2}} \cdot 2 x=\frac{2 x}{x^{2}}=-\frac{2}{x} \\ v & =3 x^{3} \quad v^{\prime}=9 x^{2} \\ g^{\prime \prime}(x) & =\frac{\left(-\frac{2}{x}\right) \cdot 3 x^{3}-\left(-2 \ln \left(x^{2}\right)\right) \cdot 9 x^{2}}{9 x^{6}} \\ & =\frac{-\frac{6 x^{3}}{x}-\left(-2 \ln \left(x^{2}\right)\right) \cdot 9 x^{2}}{9 x^{6}} \\ & =\frac{-6 x^{2}-\left(-2 \ln \left(x^{2}\right)\right) \cdot 9 x^{2}}{9 x^{6}} \\ & =\frac{-6 x^{2}+18 x^{2} \ln \left(x^{2}\right)}{9 x^{6}} \\ & =\frac{18 x^{2} \ln \left(x^{2}\right)-6 x^{2}}{9 x^{6}} \\ & =\frac{6 x^{2} \cdot\left(3 \ln \left(x^{2}\right)-1\right)}{3 x^{6}} \\ & =\frac{2 \cdot\left(3 \ln \left(x^{2}\right)-1\right)}{3 x^{4}} \end{aligned} \)
mgl. Lok. Extrema einsetzen:
\( \begin{array}{l} g^{\prime \prime}(1)=\frac{2 \cdot\left(3 \ln \left(1^{2}\right)-1\right)}{3 \cdot 1^{4}}=\frac{-2}{3}<0 \rightarrow \text { cokales Maximum } \\ g^{\prime \prime}(-1)=\frac{2 \cdot\left(3 \ln \left((-1)^{2}\right)-1\right)}{3 \cdot(-1)^{4}}=-\frac{2}{3}<0 \rightarrow \text { lokales Maximm } \end{array} \)
\( \rightarrow \) es existiert kein lokales Minimun, aber es existierten zwei Corale Maxima bei \( x=1 \) and \( x=-1 \)

Text erkannt:

globale Extremstellen:
\( \begin{array}{l} \text { Grenzwerte: } \\ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} g(x)=-\frac{2 \ln \left(x^{2}\right)}{3 x^{2}}=-\frac{2}{3} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2}\right)}{x^{2}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{x}}{2 x} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{2 x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{2}}=0 \\ \text { "da }=0 \\ x^{2} \rightarrow \infty \text {, gent } \frac{1}{x^{2} \rightarrow 0 "} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} g(x)=0 \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}=-\infty \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}=-\infty \\ g(1)=-\frac{\left.2 \ln (1)^{2}\right)}{3(1)^{2}}=-\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 1}=0 \\ g(-1)=-\frac{\left.2 \ln (-1)^{2}\right)}{3 \cdot(-1)^{2}}=-\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 1}=0 \end{array} \)

Die globalen Maxima sind \( g(1)=0 \) und \( g(-1)=0 \), da die Function für \( x \rightarrow 0^{+} \)und \( x \rightarrow 0^{-} \)gegen \( -\infty \) gehen, gibt es klèn globales Minimm.

Text erkannt:

c.)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \cdot\left(\arctan (x)-\frac{\pi}{2}\right) \)
\( x \rightarrow \infty \arctan (x) \) nähert sich \( \frac{\pi}{2} \)
\( \begin{array}{l} \arctan (x)=-\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{x} \\ x \cdot\left(\arctan (x)-\frac{\pi}{2}\right) \approx x \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)=-1 \end{array} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}=-1 \)
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{3} \sin (x)} \\ \cos \left(x^{2}\right) \approx 1-\frac{x^{4}}{2} \\ \Rightarrow \cos \left(x^{2}\right)-1 \approx-\frac{x^{4}}{2} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \sin (x) \approx x \\ \Rightarrow x^{3} \sin (x) \approx x^{4} \\ \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{3} \sin (x)} \approx \frac{-\frac{x^{4}}{2}}{x^{4}}=-\frac{1}{2} \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{3} \sin (x)}=-\frac{1}{2} \end{array} \)

Answer 3

ist meine Ableitung von b richtig?

\( g:\left[\frac{1}{e}, 3\right] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{\ln \left(x^{2}\right)+1}{3 x^{2}} \)

Beim Zähler gilt: äußere Ableitung mal innere Ableitung:

äußere Ableitung ist \( \frac{1}{x^2} \)    Die hast du richtig

innere Ableitung von \(x^2 \) ist \(2\red{x}\)

Zusammengefügt:

\(u=ln(x^2)\) → \(u'=\frac{1}{x^2}\cdot 2\red{x}\)

Comments

Vielen Dank!!