Wann stellt sich die Temperatur wieder ein?

Question

In sogenannten Aluminiumhütten wird nach einem bestimmten Verfahren Aluminium aus Aluminiumoxid gewonnen. Die Temperatur vom Ausgangsstoff bis zum fertigen Endprodukt Aluminium während des Herstellungsprozesses kann modellhaft durch die Funktion mit der Funktionsgleichung f(t) = 250 · t ·e^-0,1⋅t + 22. Dabei steht die Variable t für die Zeit in Minuten ab dem Zeitpunkt t₀ = 0. Der Funktionswert von gibt die Temperatur in Grad Celsius zum Zeitpunkt t an. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

2.1 Berechnen Sie die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten und die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt.

Kann mit jemand erklären, wie man das berechnet, also wann sich dir Temperatur langfristig einstellt? Ich verstehe die Fragestellung irgendwie nicht mal.

Comments

Wann stellt sich der Temperatur wieder ein? ... Kann mit jemand erklären wie man das berechnen tut, also wann sich dir Temperatur langfristig einstellen tut,

Danach wird nicht gefragt.

Sondern nach der

Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt.

Und bei der Funktionsgleichung stimmt auf der linken Seite etwas nicht.

Nachtrag: Nachdem ein anderer Benutzer Deinen Aufgabentext korrigiert hat, stimmt die linke Seite.

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\(f(t) = 250 \cdot t \cdot e^{-0,1t} \) + 22\)

\(f(t) = 250 \cdot \frac{t}{e^{0,1t}}+ 22\)

\( \lim\limits_{t\to\infty} \frac{250t}{e^{0,1t}}+ 22 \)

Mit l´Hospital:

\( \lim\limits_{t\to\infty} \frac{250}{0,1e^{0,1t}}+ 22 \)

\( \lim\limits_{t\to\infty} \frac{2500}{e^{0,1t}}+ 22=22 \)

Langfristige Temperatur 22°

Answer 1

Gesucht wird der Grenzwert für \( t \rightarrow \infty \)

Beim ersten Summanden des Funktionsterms steht t in erster Potenz im Zähler und als Exponent im Nenner. Der erste Summand strebt also gegen Null. Die Temperatur nähert sich im Verlauf der Zeit darum wieder der Starttemperatur / Umgebungstemperatur an, die im zweiten Summanden steht - was ja auch anzunehmen ist bevor man die Funktion überhaupt angeschaut hat.

Answer 2

Wenn du dir mal eine Wertetabelle machst oder den Graphen zeichnen läßt dann stellst du fest, dass die Temperatur nach 100 Minuten auf ca. 23 Grad abgekühlt ist.

Aber egal wie lange du danach noch wartest kühlt die Temperatur nur bis 22 Grad ab und nicht mehr. Langfristig stellt sich also eine Temperatur von 22 Grad ein. Mathematisch weißt du das mit dem Grenzwert nach. Also wenn t unendlich groß wird.

Skizze

~plot~  250*x*e^(-0.1*x)+22;22;[[0|100|0|1000]] ~plot~