Erstmal: eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe aller ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
Eine weitere hilfreiche Methode, ist das Modulare Rechnen, also das Rechnen mit Resten.
Die Definition lautet:
n%k := Der Rest bei der Teilung von n durch k. (gesprochen: n modulo k)
n und k sind natürliche Zahlen.
Z.B:
10%4 = 2, denn 10/4 = 2 Rest 2
14%5 = 4, denn 14/5 = 2 Rest 4
Ein wichtiges Rechengesetz ist das folgende:
(a+b)%k = (a%k+b%k)%k
Außerdem ist klar: k ist Teiler von n genau dann, wenn n%k = 0 gilt.
Ferner auch: x%3 ∈ {0,1,2}. Teilt man eine Zahl durch 3, so bleibt als Rest entweder 0, 1 oder 2, aber nie eine größere Zahl.
7 und 1 besitzen bei Teilung durch 3 beide den Rest 1.
Mit der Faustregel ganz oben folgt also:
xyz%3 = (x+y+z)%3 = (x%3+y%3+z%3)%3
wobei xyz hier kein Produkt, sondern eine Aneinanderreihung von Ziffern ist.
Man erkennt, dass durch das Anhängen einer 7 oder 1 der Rest bei Teilung durch 3 stets um 1 erhöht wird.
Für die Ausgangszahl x gibt es 3 Möglichkeiten:
a) x%3 = 0
Bereits x ist durch 3 teilbar. Außerdem ist jede Zahl die aus x hervorgeht, indem man je dreimal eine Zahl (1 oder 7) daran anhängt durch 3 teilbar. (So z.B. x711 oder x777 oder x717117)
b) x%3 = 1
Hängt man zwei Ziffern hinten dran, dann ist die entstehende Zahl durch drei teilbar. Genauso jede Zahl mit 5,8,11,... angehängten Ziffern. (z.B. x71, x11177)
c) x%3 = 2
Hier reicht es eine einzige Zahl hinten anzuhängen, sowie 4,7,10 Ziffern und so weiter. (z.B. x7, x1111)
Ein paar Beispiele noch:
Sei die gewählte Zahl 127 gewesen. Die Quersumme beträgt 1+2+7=10, also gilt 127%3 = 1. Man muss also zwei Zahlen hinten anhängen, z.B. zwei Einsen.
12711=3*4237
also tatsächlich durch drei teilbar.
x = 8 => 87 = 3*29
Und so weiter.
