Fakultät im Zähler und Nenner eines Bruches berechnen?

Question

Sie haben folgende Antwort gegeben: Es sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl.

Was ist  \( \frac { n ! } { ( n - 2 ) ! } \)?

Ich glaube, die Antwort war gegeben mit:

$$ \frac { n } { n - 1 } $$

Wie kommt man darauf?

Answer 1

Also die Antwort ist auf jeden Fall falsch.

n! ist definiert als Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner gleich n.

n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1

Notiert man also den obigen Bruch, so kürzt sich alles heraus, außer n*(n-1). Das Ergebnis ist also

n!/(n-2)!=n²-n

$$ \frac { n ! } { ( n - 2 ) ! } = \frac { n · ( n - 1 ) · ( n - 2 ) · \dots } { ( n - 2 ) · ( n - 3 ) · ( n - 4 ) · \ldots } = n · ( n - 1 ) · \frac { ( n - 2 ) · ( n - 3 ) · ( n - 4 ) · \dots } { ( n - 2 ) · ( n - 3 ) · ( n - 4 ) · \ldots } = n · ( n - 1 ) = n ^ { 2 } - n $$