Aufgabe:
Stimmen meine Formeln und meine Ergebnisse?
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Aufgabe 1: Gegeben sind folgende vier Wertepaare \( P_{i}=\binom{x_{i}}{y_{i}} \) :
(5 P)
\( P_{1}=\binom{1,5}{5,4} ; P_{2}=\binom{2,2}{5,2} ; P_{3}=\binom{4,1}{3,6}, P_{1}=\binom{5,0}{3,0} \)
a) Berechnen Sie die Kovarianz der beiden Zufallsvariablen \( x \) und \( y \) aus den obigen Wertepaaren? In Einzelschritten vorrechnen (sonst keine Punkte)!
b) Berechnen Sie Korrelationskoeffizienten. In Einzelschritten vorrechnen (sonst keine Punkte)!
c) Beschreiben Sie in Worten, was das Ergebnis von b) über den Zusammenhang der beiden Größen \( x \) und \( y \) aussagt (ein Satz genügt).
a) \( \delta x y= \) Kovarianz: \( s x y \cdot \frac{1}{n-1} \sum\left(x_{i}-\bar{x}\right) \cdot\left(y_{i}-\bar{y}\right) \)
\( \begin{aligned} \bar{x}= & \frac{1}{n} \sum\left(x_{i}\right)=\frac{1}{4}(1,5+2,2+4,1+5)=3,2 \\ \bar{y}= & \frac{1}{n} \sum\left(y_{i}\right)=\frac{1}{4}(5,4+5,2+3,6+3)=4,3 \\ 5 x y= & \frac{1}{3} \cdot[(1,5-3,2) \cdot(5,4-4,3)+(2,2-3,2) \cdot(5,2-4,3)+(4,1-3,2) \cdot(3,6-4,3) \\ & \quad+(5-3,2) \cdot(3-4,3)] \\ = & -1,913 \end{aligned} \)
b) \( r=\frac{s x y}{s x s y} \)
\( \begin{array}{l} s x=\frac{1}{n-1} \cdot \sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{3}\left((1,5-3,2)^{2}+(2,2 \cdot 3,2)^{2}+(4,1-3,2)^{2}+(5 \cdot 3,2)^{2}\right)=2,64 \overline{6} \\ s y=\frac{1}{n-1} \cdot \sum\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=\frac{1}{3}\left((5,4-4,3)^{2}+(5,2-4,3)^{2}+(3,6-4,3)^{2}+(3-4,3)^{2}\right)=1,4 \\ r=\frac{-1,9 \sqrt{3}}{2,64 \overline{6} \cdot 1,4}=-0,516 \end{array} \)
c) Es bestent ein inverser zusammenhang zwischen den Groben. steigt der wert einer variablen, sinut der wert der anderen.
