Hypothesentest: Chi-Quadrat-Test - Ist die Wartezeit Exponentialverteilt?

Question

Aufgabe:

Es geht um Verteilungstests. Bei der b) muss ich E(ni) berechnen. Die Formel ist doch p mal G. Wie berechne ich das ohne Wahrscheinlichkeit.

Text erkannt:

Aufgabe 5: Es wird die Hypothese aufgestellt, dass die Wartezeit an einer Supermarktkasse \( (2+5 \mathrm{P}) \) exponentialverteilt mit \( \lambda=\frac{1}{5 \text { Minuten }} \) ist:
\( f(t)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot t} & \text { für } t>0 \\ 0 & \text { sonst } \end{array} \text { mit } \lambda=\frac{1}{5 \text { Minuten }}\right. \)
a) Wie wahrscheinlich ist unter der angenommenen Hypothese eine Wartezeit von weniger als 2 Minuten?
b) Es wird eine Stichprobe mit 50 Vorgängen gemacht, d.h. es wird bei 50 zu fällig ausgewählten Kundinnen und Kunden die Wartezeit ermittelt. Dabei ergeben sich folgende Zahlen:
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline Wartezeit & Anzahl der Vorgänge n \\
\hline 0 bis 2 Minuten & 10 \\
\hline 2 bis 5 Minuten & 13 \\
\hline 5 bis 8 Minuten & 13 \\
\hline\( >8 \) Minuten & 14 \\
\hline
\end{tabular}

Prüfen Sie die obige Hypothese anhand Ihrer Stichprobe. Legen Sie dabei die Signifikanzzahl \( \alpha=5 \% \) zugrunde. (Hinweis: Chi-Quadrat-Test)
\( \begin{aligned} F(2) & =p(x \leq 2) \\ F(2) & =1-e^{-\frac{4}{5} \cdot 2} \\ & =0,33 \end{aligned} \)
\( \text { b) } z=x^{2}=\sum \limits_{i=1}^{k} \frac{\left[n_{i}-E\left(n_{i}\right)\right]^{2}}{E\left(n_{i}\right)}=\sum \limits_{i=1}^{k} \frac{\left(\Delta n_{i}\right)^{2}}{E\left(n_{i}\right)} \text { ? } \)

Answer 1

Der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsgröße ist \(\frac{1}{\lambda}\).

Answer 2

Aufgabe a) hast du richtig

P(X < 2) = 0.3297

Bei b) machst du ein X²-Test. Bei 50 Kunden würdest du erwarten, dass 50 * 0.3297 = 16.49 statt 10 weniger als 2 Minuten warten.

So verfährst du mit allen Intervallen. Also der Erwartungswert der Kundenzahl in einem Intervall ist 50 mal die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Wartezeit aus diesem Intervall hat.

Willst du das mal probieren.

Comments

Text erkannt:

Aufgabe 5: Es wird die Hypothese aufgestellt, dass die Wartezeit an einer Supermarktkasse (2+5 P) exponentialverteilt mit \( \lambda=\frac{1}{5 \text { Minuten }} \) ist:
\( f(t)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot t} & \text { für } t>0 \\ 0 & \text { sonst } \end{array} \text { mit } \lambda=\frac{1}{5 \text { Minuten }}\right. \)
a) Wie wahrscheinlich ist unter der angenommenen Hypothese eine Wartezeit von weniger als 2 Minuten?
b) Es wird eine Stichprobe mit 50 Vorgängen gemacht, d.h. es wird bei 50 zu fällig ausgewählten Kundinnen und Kunden die Wartezeit ermittelt. Dabei ergeben sich folgende Zahlen:
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline Wartezeit & Anzahl der Vorgänge n \\
\hline 0 bis 2 Minuten & 10 \\
\hline 2 bis 5 Minuten & 13 \\
\hline 5 bis 8 Minuten & 13 \\
\hline\( >8 \) Minuten & 14 \\
\hline
\end{tabular}

Prüfen Sie die obige Hypothese anhand Ihrer Stichprobe. Legen Sie dabei die Signifikanzzahl \( \alpha=5 \% \) zugrunde. (Hinweis: Chi-Quadrat-Test)
a)
\( \begin{aligned} F(2) & =P(x \leq 2) \\ F(2) & =1-e^{-\frac{1}{5} \cdot 2} \\ & =0,33 \end{aligned} \)
b) Exponential-verteilung
\( \begin{aligned} P(O \leq t \leq 2) & =P(x-2)-P(x=0) \\ & =\left(1-e^{-\frac{1}{5} \cdot 2}\right)-\left(1-e^{-\frac{1}{8} \cdot 0}\right) \\ & =0,32968 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} P(2 \leq t \leq 5) & =P Q=5)-P(X=2) \\ & =\left(1-e^{-\frac{1}{3} \cdot 5}\right)-\left(1-e^{-\frac{1}{3} \cdot 2}\right) \\ & =0,30244 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p(5 \leq t \leq 8) & =P(x=8)-P(x=5) \\ & =\left(1-e^{\left.-\frac{f 8}{}\right)-\left(1-e^{-\frac{1}{5} 5}\right)}\right. \\ & =0.165883 \\ P(t>8) & =1-P(t \leq 8) \\ & =1-\left(1-e^{-\frac{1}{5} 8}\right) \\ & =0.201897 \end{aligned} \)
\begin{tabular}{c|c|c|c|}
Klasse & \( n_{i} \) & \( p \) & \( E\left(n_{i}\right) \) \\
\hline Obis2 & 10 & 0,32968 & 16,484 \\
2 b55 & 13 & 0,30244 & 15,122 \\
5 bis8 & 13 & 0,165983 & 8,29515 \\
\( >8 \) & 14 & 0,201897 & 10,09485 \\
\hline & 50 & & 50
\end{tabular}
\( z=x^{2}=50 \)

Grenzen: \( P(z \leqslant c)=0,95 \)
\( \xrightarrow{f=3} \quad c=7.81 \)

Vergleich: \( x^{2}>c \)-o Hgpotnese verwerten

Stimmt es so?

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X^2 ist nicht 50. Du weißt wie du X^2 berechnen musst oder?

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Ups, tut mir leid. Passt es so?

Text erkannt:

a)
\( \begin{aligned} F(2) & =P(x \leqslant 2) \\ F(2) & =1-e^{-\frac{4}{5} \cdot 2} \\ & =0,33 \end{aligned} \)
b) Exponential-verteilung
\( \begin{aligned} P(0 \leq t \leq 2) & =P(x-2)-P(x=0) \\ & =\left(1-e^{-\frac{1}{6} \cdot 2}\right)-\left(1-e^{-\frac{1}{3} \cdot 0}\right) \\ & =0,32968 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} P(\alpha \leq t \leq 5) & =P(x=5)-P(x=2) \\ & =\left(1-e^{-\frac{1}{5} \cdot 5}\right)-\left(1-e^{-\frac{1}{3}}\right) \\ & =0,30244 \\ P(5 \leq t \leq 8) & =P(x=8)-P(x=5) \\ & =\left(1-e^{-48}\right)-\left(1-e^{-\frac{1}{5}} 5\right) \\ & =0,165983 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} P(t>8)= & 1-P(t \leq 8) \\ & -1-\left(1-e^{-\frac{1}{8} 8}\right) \\ & =0.201897 \end{aligned} \)
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
Klasse & \( n_{i} \) & \( p \) & \( E\left(n_{i}\right) \) & \( \frac{\left(n_{i}-E\left(n_{i 1}\right)^{2}\right.}{E E n_{i}} \) \\
\hline 0 bis2 & 10 & 0,32968 & 16,484 & 2,5505 \\
2 b55 & 13 & 0130244 & 15,122 & 0,28770 \\
5 bis8 & 13 & 0,165983 & 8,29915 & 2,66268 \\
\( >8 \) & 14 & 0,201897 & 10,09485 & 1,51063 \\
\hline & 50 & & 50 & 7,02157
\end{tabular}
\( z=x^{2}=7,02157 \)

Grenzen: \( P(z \leqslant c)=0,95 \)
\( \xrightarrow{f=3} \quad c=7,81 \)

Vergleich: \( x^{2} \leq c \)-oHypothese akreptiert

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Ja. So passt das. Prima.