Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes

Question

Aufgabe:

Ich habe bei der b) folgende Formeln vorliegen. Aber irgendwie ergeben die beim Einsetzen nicht dasselbe. Wo ist der Fehler ?

Text erkannt:

Aufgabe 16: Bei einer Untersuchung werden 70 \% Raucher:innen und 30 \% Nichtraucher:innen festgestellt. Von den Raucher:innen treiben 20 \% Sport, von den Nichtraucher:innen \( 30 \% \).
a) Wie gro \( ß \) ist der Anteil der Sportler:innen in der Gesamtgruppe?
b) Eine zufällig befragte Person ist Sportler:in. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Nichtraucher:in?
a) \( P(S)=0,23 \)

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Ich habe ... folgende Formeln vorliegen

Was verstehst Du unter \( P(S \,\overline{R})\) in der zweiten Formel? Die erste Formel ist Bayes.

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Es sollte aus dem Kontext der Aufgabe klar sein, dass damit \(P(S\cap\overline{R})\) gemeint ist.

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Meine Frage richtet sich an die Maus.

Wenn beispielsweise \( P(S) \cdot P(\overline{R})\) gemeint wäre, hätte sie nicht \( P(S \,\overline{R})\) geschrieben.

Answer 1

Der Fehler besteht darin, dass \(P(S\cap \overline{R})=P(S)\cdot P(\overline{R})\) im Allgemeinen nicht gilt, da dies die Unabhängigkeit der Ereignisse voraussetzt. Diese ist hier aber offensichtlich nicht gegeben, weshalb nicht dasselbe herauskommt. Stattdessen gilt aber

\(P(S\cap \overline{R})=1-P(\overline{S}\cup R)=1-P(\overline{S})-P(R)+P(\overline{S}\cap R)=1-0,77-0,7+0,8\cdot 0,7=0,09\)

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Also bei P(Y∩Z) = P(Y) mal P(Z) z.B.  müssen die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sein?

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Genau, diese Gleichheit gilt nur bei Unabhängigkeit.

Allgemein gilt \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).

Sind \(A\) und \(B\) unabhängig, so ist aber die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)=P(A)\). Also gilt

\(P(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) bzw. \(P(A)P(B)=P(A\cap B)\).

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Wäre es also der sicherere Weg immer über den Satz von Bayes zu gehen? Oder sollte man immer prüfen ob die Ereignisse abhängig bzw. unabhängig sind?

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Über die Unabhängigkeit berechnet bedingte Wahrscheinlichkeiten eher nicht, weil das eben die Prüfung erforderlich macht. Daher bietet sich grundsätzlich der Satz von Bayes an. Man kann aber auch - was oft am einfachsten ist - eine Vierfeldertafel erstellen und anhand der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit diese direkt berechnen.

Answer 2

\( P( \) Nichtraucher \( \mid \) Sport \( )=\frac{0,30 \times 0,30}{0,23}=\frac{0,09}{0,23} \approx 0,3913 \)

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Ich empfehle auch bei Bedarf für ein besseres Verständnis eine Vierfeldertafel zu machen.

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Das beantwortet aber die Frage nicht.

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Doch. Die Wahrscheinlichkeit das jemand Sportler*in und nicht Raucher*in ist sind 0.09 bzw. 0.3 * 0.3 und eben nicht 0.23 * 0.3

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Natürlich verstehst du das wieder nicht:

Aber irgendwie ergeben die beim Einsetzen nicht dasselbe. Wo ist der Fehler ?

Die Formel hat der FS doch! Die Frage war, warum die Ergebnisse voneinander abweichen, also wieso die zweite Formel nicht funktioniert. Diese Antwort hier liefert nur das richtige Ergebnis, geht aber auf die eingangs gestellte Frage mit keinem einzigen Wort ein. Deine Vierfeldertafel tut das übrigens auch nicht.

Es ist langsam echt traurig, dass man das immer wieder erklären muss. Es wird also mal wieder nur die Aufgabenstellung gelesen und nicht die Frage oder das Anliegen des FS! Dass es dafür dann noch einen Daumen gibt, tut schon fast weh.