Zu a):
Die erste Matrix besitzt die Einträge \(a_{ki}=ki\) und damit insbesondere auf der Hauptdiagonalen die Einträge \(a_{ii}=i^2\)
Die zweite Matrix besitzt die Einträge \(a_{ki}=1+(i-1)(k+1)\) und auch insbesondere für \(k=i\) aufgrund der 3. binomischen Formel die Einträge \(a_{ii}=i^2\) auf der Hauptdiagonalen.
Zu b):
Die Aussage ist mathematisch derart missglückt formuliert. Definiert man für festes \(n\in\mathbb{N}\) die Matrizen wie beschrieben, so ist die Summe der Einträge der Matrizen identisch.
Zur ersten Matrix wurde bereits gezeigt, dass die Summe der Einträge
\(\sum\limits_{i=1}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) beträgt.
(https://www.mathelounge.de/1097601/mustererkennung-und-beweis)
Für die zweite Matrix erhalten wir zeilenweise die Summen
\(S_k=\sum\limits_{i=1}^{k}[1+(i-1)(k+1)]=n+\frac{n(n-1)}{2}(k+1)\) (arithmetische Reihe)
und insgesamt die Summe
\(S=\sum\limits_{k=1}^{n}S_k=\sum\limits_{k=1}^{n}[n+\frac{n(n-1)}{2}(k+1)]=n^2+\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)\left(\frac{n(n+3)}{2}\right)\)
\(=n^2+\left(\frac{n(n-1+2)}{2}\right)\left(\frac{n(n+3-2)}{2}\right)-n\left(\frac{n(n+3)}{2}\right)+n\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\)
\(=n^2+\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)-n^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\).
