Zerfallsfaktor b berechnen?

Question

Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das exponentiell abgebaut wird. Dabei halbiert sich die Menge des Wirkstoffes im Blut alle 40 Minuten.

A) Berechnen sie den Zerfallsfaktor b in der Einheit 1/min auf vier Dezimalstellen

Ansatz:

Wie gehe ich da vor, ich weiß das b < 0 sein muss aufgrund des Zerfallsprozess.

Die Allgemeine Funktion lautet ja a • b^x

Aber wie komme ich auf den Anfangswert a, und die Informationen aus dem letzten Satz kann ich irgendwie nicht richtig deuten, was das bedeutet mathematisch.

Answer 1

Du brauchst keinen konkreten Anfangswert. Du weißt ja aus dem Text, daß nach 40 min nur noch die Hälfte von dem vorliegt, was am Anfang vorlag.

Comments

1/2 = b⁴⁰

^{b = \( \sqrt[40]{1/2} \)}

^{Stimmt das so dann?}

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Ja, stimmt so. Es gilt außerdem \(0<b<1\) für den Zerfall. ;)

Wenn es keinen konkreten Anfangswert gibt, kannst du immer von \(1=100\,\%\) ausgehen.

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Ja, wenn mit Zerfallsfaktor b in b^t gemeint ist.

Manche schreiben es ja auch mittels der e-Funktion als e^-bt und meinen das b.

Hier weiß ich nicht, welche Form Ihr nutzt.

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Manche schreiben es ja auch mittels der e-Funktion als e-bt und meinen das b.

Das ist dann aber nicht der Wachstumsfaktor, sondern die Wachstumskonstante (bzw. Zerfalls-). Der Wachstums-/Zerfallsfaktor ist ja gerade der Faktor, mit dem sich eine Größe verändert, sonst hieße er nicht Faktor. Der Wachstums-/Zerfallsfaktor im Falle der e-Funktion wäre dann \(\mathrm{e}^{b}\).

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Ist a • 0,9828^x das gleiche wie e^-0,9828x oder wie schreibt man das als e Funktion ?

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Nein. Es gilt \(b=\mathrm{e}^{\ln(b)}\).

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Vielen Dank, noch eine letzte allgemeine Frage bei der Funktion t(x) = a * b^x darf da der Faktor b auch negativ sein oder nicht?

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Nein, muß positiv sein

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Hier noch zur Kontrolle

$$f(t) = \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{t}{40} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{1}{40} \right)^t \approx 0.9828^t = e^{\ln(0.9828) \cdot t} \approx e^{-0.01735 \cdot t}$$

Ohne den Anfangsbestand a gibt die Funktion den Anteil des Medikaments an der sich nach t Minuten noch im Körper befindet.

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Woran erkennt man bei einer e Funktion ob sie sms oder smf ist, gibt es da einen Trick welche man ablesen kann?

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Schau Dir mal die Graphen von e^x und e^-x sowie sicherheitshalber von -e^x und -e^-x an, dann sollte klar werden.

Und wenn man weiß, dass e^-x = 1/e^x  ist, kann man es sich auch beantworten.

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y = b^x ist sms für b > 1 und smf für 0 < b < 1

Die e-Funktion y = e^{ln(b)·x} ist also sms für b > 1 und smf für 0 < b < 1.

Jetzt brauchst du dir nur noch überlegen, wie das jetzt genau mit dem ln(b) aussieht.

Kleiner Tipp. Berechne mal den ln für ein paar Werte von b die größer als 1 sind und die zwischen 0 und 1 liegen. Evtl. auch den ln für b = 1.